Abstract
A. Cayley and F. Klein discovered in the nineteenth century that euclidean and non-euclidean geometries can be considered as mathematical structures living inside projective-metric spaces. They outlined this idea with respect to the real projective plane and established (“begründeten”) in this way the hyperbolic and elliptic geometry. The generalization of this approach to projective spaces over arbitrary fields and of arbitrary dimensions requires two steps, the introduction of a metric in a pappian projective space and the definition of substructures as Cayley-Klein geometries. While the first step is taken in H. Struve and R. Struve (J Geom 81:155–167, 2004), the second step is made in this article. We show that the concept of a Cayley-Klein geometry leads to a unified description and classification of a wide range of non-euclidean geometries including the main geometries studied in the foundations of geometry by D. Hilbert, J. Hjelmslev, F. Bachmann, R. Lingenberg, H. Karzel et al.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
Bachmann F.: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2nd edn. Springer, Heidelberg (1973)
Bachmann F.: Ebene Spiegelungsgeometrie. BI-Verlag, Mannheim (1989)
Baer R.: Linear Algebra and Projective Geometry. Academic Press, New York (1952)
Benz W.: Real Geometries. BI-Verlag, Mannheim (1994)
Birkhoff, G.: Lattice Theory, Revised edition. Am. Math. Soc. Colloquium Publ. Vol. 25, (1973)
Blaschke W.: Gesammelte Werke. Thales, Essen (1985)
Bonola R.: Non-Euclidean Geometry. Dover, New York (1955)
Borsuk K., Szmielew W.: Foundations of Geometry. North-Holland, Amsterdam (1960)
Cayley, A.: A sixth memoir upon quantics, Phil. Trans. R. Soc., London (1859) – cp. Collected Math. Papers, vol. 2, Cambridge (1889)
Coxeter H.S.M.: Non-Euclidean Geometry. University of Toronto Press, Toronto (1957)
Coxeter H.S.M.: A Geometrical Background for de Sitter’s World. Am. Math. Monthly 50, 217–228 (1943)
Faure C.-A., Frölicher A.: Modern Projective Geometry. Kluwer, Dordrecht (2000)
Giering O.: Vorlesungen über höhere Geometrie. Vieweg, Braunschweig (1982)
Grätzer G.: Universal Algebra. 2nd edn. Springer, Heidelberg (1979)
Hessenberg G., Diller J.: Grundlagen der Geometrie. Walter de Gruyter, Berlin (1967)
Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig (1899) – translated by L. Unger, Open Court, La Salle, Ill. (1971) under the title: Foundations of Geometry
Hjelmslev J.: Neue Begründung der ebenen Geometrie. Math. Ann. 64, 449–474 (1907)
Hughes D.R., Piper F.C.: Projective Planes. Springer, Heidelberg (1973)
Karzel H., Kroll H.-J.: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt (1988)
Karzel H., Kroll H.-J.: Zur projektiven Einbettung von Inzidenzräumen mit Eigentlichkeitsbereich. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 49, 82–94 (1979)
Kinder, H.: Begründung der n-dimensionalen absoluten Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Diss. Kiel (1965)
Klein, F.: Über die sogenannte Nicht-euklidische Geometrie, Math. Ann. Vol. 4, 573–625 (1871) and Vol. 6, 112–145 (1873)
Klein, F.: Zur Nicht-euklidischen Geometrie. Math. Ann. 37, 544–572 (1890) - cp. Ges. Math. Abh. 1, 353–382, Berlin (1921)
Klein F.: Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. Springer, Berlin (1928)
Klopsch P.: Invariante, von Spiegelungen erzeugte Untergruppen orthogonaler Gruppen. Geom. Ded. 1, 85–99 (1972)
Lang S.: Algebra. 2nd edn. Addison-Wesley, New York (1973)
Lenz H.: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig (1965)
Lester J.A.: The casual automorphisms of de Sitter and Einstein’s cylinder spacetimes. J. Math. Phys. 25, 113–116 (1984)
Lingenberg R.: Metric Planes and Metric Vector Spaces. Wiley, New York (1979)
Menger K., Alt F., Schreiber O.: New foundations of affine and projective geometry. Ann. Math. 37, 456–482 (1936)
O’Meara O.T.: Introduction to Quadratic Forms. Springer, New York (1971)
Pejas W.: Die Modelle des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie. Math. Ann. 143, 212–235 (1961)
Pejas W.: Trägheitssatz und halbelliptische Bewegungsgruppen. Math. Ann. 147, 110–119 (1962)
Rosenfeld B.A.: Non-Euclidean Spaces (russian). Nauka, Moscow (1969)
Rosenfeld B.A.: A History of Non-Euclidean Geometry. Springer, New York (1988)
Russell B.: Foundations of Geometry (with a foreword of M. Kline). Dover, New York (1956)
Snapper E., Troyer R.J.: Metric Affine Geometry. Academic Press, New York (1971)
Sommerville, D.M.Y.: Classification of geometries with projective metrics. Proc. Edinburgh. Math. Soc. 28, 25–41 (1910/11)
Sperner E.: Die Ordnungsfunktion einer Geometrie. Math. Ann. 121, 107–130 (1949)
Strubecker, K.: Geometrie in einer isotropen Ebene I-III. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 15, 297–306, 343–351, 385–394 (1962/63)
Struve H.: Ein spiegelungsgeometrischer Aufbau der Galileischen Geometrie. Beiträge zur Algebra und Geometrie 17, 197–211 (1984)
Struve H., Struve R.: Projective spaces with Cayley-Klein metrics. J. Geom. 81, 155–167 (2004)
Struve H., Struve R.: Lattice theory and metric geometry. Algebra Universalis 58, 461–477 (2008)
Yaglom I.M.: A Simple Non-Euclidean Geometry and Its Physical Basis. Springer, Heidelberg (1979)
Yaglom I.M., Rozenfeld B.A., Yasinskaya E.U.: Projective Metrics. Russ. Math. Surv. 19(5), 49–107 (1964)
Further reading
Bachmann, F.: Hjelmslev planes. Atti del Colloquio di Geometria Combinatoria e sue Applcazioni, Perugia, 43–56 (1971)
Birkhoff G., von Neumann J.: The logic of quantum mechanics. Ann. Math. 37, 823–843 (1936)
Brauner H.: Geometrie projektiver Räume I, II. BI-Verlag, Mannheim (1976)
Buekenhout, F. (ed.): Handbook of Incidence Geometry. Elsevier, Amsterdam (1995)
Coxeter H.S.M.: The real projective plane. Springer, New York (1933)
Grätzer G.: General Lattice Theory. Birkhäuser, Basel (1978)
Hilbert D.: Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie. Math. Ann. 57, 137–150 (1903)
Onishchik A.L., Sulanke R.: Projective and Cayley-Klein Geometries. Springer, Berlin (2006)
Rosenfeld B.A.: Geometry of Lie Groups. Reidel, Dordrecht (1997)
Segre, B.: Lectures on modern geometry. Rom (1961)
Struve H., Struve R.: Eine synthetische Charakterisierung der Cayley–Kleinschen Geometrien. Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 31, 569–573 (1985)
Struve H., Struve R.: Endliche Cayley-Kleinsche Geometrien. Archiv d. Math. 48, 178–184 (1987)
Struve, H., Struve, R.: Klassische nicht-euklidische Geometrien - ihre historische Entwicklung und Bedeutung und ihre Darstellung: Teil I and Teil II, Math. Semesterber. 51, 37–67 and 207–223 (2004)
Struve R.: Orthogonal Cayley-Klein groups. Result. Math. 48, 163–183 (2005)
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Struve, H., Struve, R. Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach. J. Geom. 98, 151–170 (2010). https://doi.org/10.1007/s00022-010-0053-z
Received:
Revised:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s00022-010-0053-z