Summary
The initial-value problem for hyperbolic differential equations with the initial data given on a null plane in Minkowski space is considered in detail for the Klein-Gordon and Dirac equations. Existence and uniqueness theorems are given. The quantum field-theoretic analogue involves the commutation relations on the null plane and the null translation operator off that plane. The formal theory of interacting fields is stated briefly in the Feynman-Dyson spirit. It is pointed out that an interaction that involves the null co-ordinate derivative of the field in the direction off the initial plane leads to additional complications.
Riassunto
Si considera in dettaglio per le equazioni di Klein-Gordon e Dirac il problema dei valori iniziali per le equazioni differenziali iperboliche con i dati iniziali in un piano nullo nello spazio di Minkowski. Si espongono i teoremi di esistenza e unicità. L’analogo per la teoria dei campi quantici comporta l’uso di relazioni di commutazione sul piano nullo e dell’operatore di traslazione nulla fuori di quel piano. Si enuncia brevemente la teoria formale dei campi interagenti, nello spirito della teoria di Feynman-Dyson. Si mettono in evidenza le complicazioni ulteriori che sorgono dalla derivata della coordinata nulla del campo nella direzione al di fuori del piano iniziale.
Реэюме
Для уравнений Клейна-Гордона и Дирака подробно рассматривается проблема начальных эначений для гиперболических дифференциальных уравнений с эаданными начальными данными на нулевой плоскости в пространстве Минковско-го. Приводятся теоремы сушествования и единственности. Теоретический аналог квантового поля включает коммутационные соотнощения на нулевой плоскости и оператор нулевых трансляций вне зтой плоскости. В смысле Фейнмана-Дайсона вкратце формулируется формальная теория вэаимодействуюших полей. Отмечается, что вэаимодействие, которое включает нулевую координатную проиэводную поля в направлении от начальной плоскости, приводит к дополнительным усложнениям.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
R. A. Neville: Ph. D. thesis, Syracuse University (August 1968).
H. Leutwyler:Acta Phys Austriaca Suppl.,5 (1968) (VII Schladming Meeting);K. Bardakci andM. B. Halpern:Phys. Rev.,176, 1686 (1968).
J. Hadamard:Lectures on Cauchy’s Problem (New Haven, Conn., 1923; New York, 1952);R. Courant andD. Hilbert:Methods of Mathematical Physics, Vol.2 (New York, 1962);F. G. Friedlander:Proc. Roy. Soc., A269, 53 (1962);279, 386 (1964);R. Penrose:Null hypersurface initial data for classical fields of arbitrary spin and for general relativity (preprint in P. G. Bergmann’s report:Quantization of generally covariant field theories, ARL63-56, Wright-Patterson AFB, Ohio).
J. R. Klauder, H. Leutwyler andL. Streit:Nuovo Cimento,66 A, 536 (1970).
S.-J. Chang andS.-K. Ma:Phys. Rev.,180, 1506 (1969);J. B. Kogut andD. E. Soper:Phys. Rev. D, March 15 (1970).
P. A. M. Dirac:Proc. Roy. Soc., A246, 326 (1958);P. G. Bergmann andA. B. Komar: inRecent Developments in General Relativity (New York, 1962), p. 31. We are indebted to our colleague,J. Goldberg, for informative discussions on this point.
D. M. Volkov:Zeits. Phys.,94, 250 (1935).
R. A. Neville andF. Rohrlich:Quantum electrodynamics in a laser beam (to be published inPhys. Rev.).
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Work supported in part by a grant from the National Science Foundation.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Neville, R.A., Rohrlich, F. Quantum field theory off null planes. Nuov Cim A 1, 625–644 (1971). https://doi.org/10.1007/BF02734389
Received:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02734389