Summary
The motion of a particle is studied under the action of two types of forces, some slowly varying and others rapidly fluctuating. The slowly varying forces are assumed to be given in every particular problem. The rapidly fluctuating forces, which are unknown, are assumed to have a random character. It is shown that the motion of the particle depends on the random forces only through the diffusion effect that they produce. The theory is statistical in character and only the evolution of a probability density can be determined. A Lagrangian formalism is developed and from it the general equations of motion are derived. These turn out to be formally equivalent to the Schrödinger equation. The generalization to a system of particles is straightforward if it is assumed that the random forces act independently and with like intensity on every elementary particle. The expectation values of the fundamental dynamical variables are obtained. The theory proves to be very similar to, but not fully identical with, nonrelativistic quantum mechanics without spin.
Riassunto
Si studia il moto di una particella sotto l’azione di due tipi di forze, le une che variano lentamente e le altre che fluttuano rapidamente. Si suppone che le forze lentamente varianti siano date in ogni particolare problema. Si suppone che le forze fluttuanti rapidamente, che sono sconosciute, abbiano un carattere casuale. Si dimostra che il moto della particella dipende dalle forze casuali solo attraverso l’effetto di diffusione che esse producono. La teoria è di carattere statistico e si può determinare solo l’evoluzione di una densità di probabilità. Si sviluppa un formalismo lagrangiano e da esso si deducono le equazioni generali del moto. Questi risultati sono formalmente equivalenti all’equazione di Schrödinger. La generalizzazione ad un sistema di particelle è immediata se si suppone che le forze casuali agiscano indipendentemente e con uguale intensità su ogni particella elementare. Si ottengono i valori di attesa delle variabili dinamiche fondamentali. La teoria si dimostra molto simile, ma non completamente identica, alla meccanica quantistica non relativistica senza spin.
Реэюме
Исследуется движение частицы под действием сил двух типов, одних медленно меняюшихся и других быстро флуктуируюших. Предполагается, что медленно меняюшиеся силы эаданы в каждом частном случае. Также предполагается, что быстро флуктуируюшие силы, которые неиэвестны, имеют случайный характер. Покаэывается, что движение частицы эависит от случайных сил только череэ зффект диффуэии, который они же обуславливают. По своему характеру теория является статистической, и единственно воэможно определить иэменение плотности вероятности. Раэвивается лагранжианный формалиэм, и иэ него выводятся обшие уравнения движения. Окаэывается, что уравнения формально зквивалентны уравнению Щредингера. Обобшение для системы частиц проиэводится непосредственно, если предполагается, что случайные силы действуют неэависимо и с одинаковой интенсивностью на каждую злементарную частицу. Получаются ожидаемые величины для основных динамических переменных. Покаэывается, что теория очень похожа, но полностью неидентична, на нерелятивистскую квантовую механику беэ спина.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
L. de Broglie:Compt. Rend.,183, 447 (1926);184, 273 (1927);185, 380 (1927); see also:Etude critique des bases de l’interprétation actuelle de la Mécanique Ondulatoire (Paris, 1963);La Thermodynamique de la particule isolée, (Paris, 1964).
D. Bohm:Phys. Rev.,85, 166, 180 (1952).
D. Bohm:Hidden variables in the quantum theory, inQuantum Theory, edited byD. R. Bates (New York, 1962);D. Bohm andJ. Bub:Rev. Mod. Phys.,38, 453 (1966).
R. Fürth:Zeits. Phys.,81, 143 (1933).
I. Fényes:Zeits. Phys.,132, 8 (1952).
W. Weizel:Zeits. Phys.,134, 264 (1953);135, 270 (1953);136, 582 (1954).
D. Kershaw:Phys. Rev.,136 B, 1850 (1964);J. C. Aron:Progr. Theor. Phys.,33, 726 (1965);E. Nelson:Phys. Rev.,150 B, 1079 (1966);L. de la Peña Auerbach:Phys. Lett.,24 A, 603 (1967).
G. C. Comisar:Phys. Rev.,138 B, 1332 (1965);T. Marshall:Proc. Cambridge Phil. Soc.,61, 537 (1965);M. Braffort, M. Surdin andA. Taroni:Compt. Rend.,261, 4339 (1965);R. Bourret:Phys. Lett.,12, 323 (1964);Canad. Journ. Phys.,43, 619 (1965);44, 2519 (1966);G. della Riccia andT. Hida:Ann. Inst. H. Poincaré, vol.4, n. 1 (1966), p. 31;G. della Riccia andN. Wiener:Journ. Math. Phys.,7, 1372 (1966).
E. Nelson:Phys. Rev.,150 B, 1079 (1966).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Santos, E. A lagrangian formulation of the theory of random motion. Nuovo Cimento B (1965-1970) 59, 65–81 (1969). https://doi.org/10.1007/BF02712014
Received:
Revised:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02712014