Summary
Linear transformations are considered, which preserve the (anti-) commutation rules, but not the Hermiticity relation, for (fermion) boson creation and annihilation operators; these transformations lead to Fock space representations on biorthogonal bases of the operator algebra. As an application, an extension of Wick’s theorem to matrix elements of an arbitrary operator between two different quasi-particle vacuums is derived. This theorem is useful for calculations which go beyond the variational Hartree-Fock-Bogoliubov methods (H.F.B. with projection, generator co-ordinate method, etc.). A canonical decomposition for Bogoliubov transformations is established, which proves useful, for instance in the calculation of the overlap of two different quasi-particle vacuums.
Riassunto
Si considerano trasformazioni lineari, che conservano le regole di (anti) commutazione, ma non la relazione di ermiticità, per gli operatori di creazione e distruzione dei bosoni (fermioni); queste trasformazioni portano alle rappresentazioni dello spazio di Fock sulle basi biortogonali dell’algebra degli operatori. Come applicazione, si ricava un’estensione del teorema di Wick agli elementi di matrice di un operatore arnitrario fra due differenti vuoti di quasi particelle. Questo teorema è utile per calcoli che vanno al di là dei metodi variazionali di Hartree-Fock-Bogoliubov (H.F.B. con proiezione, metodo delle coordinate del generatore, ecc.). Si stabilisce una decomposizione canonica per trasformazioni di Bogoliubov, che si dimostra utile per esempio nel calcolo della sovrapposizione dei differenti vuoti di due particelle.
Реэюме
Рассматриваются линейные преобраэования, которые сохраняют (анти-) коммутационные правила, но не соотнощение зрмитовости для (фермионных) боэонных операторов рождения и уничтожения; зти преобраэования приводят к пространственным представлениям Фока на биортогональных баэисах алгебры операторов. Как иллюстрация, выводится обобшение теоремы Вика для матричных злементов проиэвольного оператора между двумя раэличными кваэи-частичными вакуумами. Эта теорема окаэывается полеэной для вычислений, которые выходят эа рамки вариационных методов Хартри-Фoка-Боголюбова (метод Х-Ф-Б с проектированием, генераторный координатный метод и др.). Устанавливается каноническое раэложение для преобраэований Боголюбова, которое окаэывается полеэным, например, при вычислении перекрытия двух раэличных кваэи-частичных вакуумов.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
N. N. Bogoliubov:Žurn. Ėksp. Teor. Fiz.,34, 58 (1958);Nuovo Cimento,7, 795 (1958);J. G. Valatin:Nuovo Cimento,7, 843 (1958).
J. Bardeen, L. N. Cooper andJ. R. Schrieffer:Phys. Rev.,108, 1175 (1957).
N. N. Bogoliubov:Žurn. Ėksp. Teor. Fiz.,11, 23 (1947).
R. J. Glauber:Phys. Rev.,131, 2766 (1963).
P. O. Löwdin:Phys. Rev.,97, 1509 (1955);R. E. Peierls andJ. Yoccoz:Proc. Phys. Soc., A70, 381 (1957).
J. Yoccoz:Proc. Phys. Soc., A70, 388 (1957).
D. L. Hill andJ. A. Wheeler:Phys. Rev.,89, 1102 (1953);R. E. Peirls andD. J. Thouless:Nucl. Phys.,38, 154 (1962).
P. W. Anderson;Phys. Rev.,164, 352 (1968).
G. C. Wick:Phys. Rev.,80, 268 (1950).
P. O. Löwdin:Phys. Rev.,97, 1474 (1955).
B. Jancovici andD. H. Schiff:Nucl. Phys.,58, 678 (1964);H. Rouhaninejad andJ. Yoccoz:Nucl. Phys.,78, 353 (1965);G. Ripka:Lectures in Theoretical Physics, vol.8 C (Boulder, Colo., 1966).
F. R. Gantmacher:Matrix Theory (New York, 1959).
G. Ripka andR. Padjen:Nucl. Phys., A132, 489 (1969).
E. R. Caianiello:Nuovo Cimento,14, 177 (1959).
N. N. Bogoliubov:Doklady,119, 244 (1958);N. N. Bogoliubov andV. G. Soloviev:Doklady,124, 1011 (1959);J. G. Valatin:Phys. Rev.,122, 1012 (1961);F. A. Berezin:The Method of Second Quantization (New York, 1966).
L. K. Hua:Amer. Journ. Math.,66, 470 (1944);Harmonic analysis of functions of several complex variables in the classical domains (published byAm. Math. Soc., 1963).C. Bloch andA. Messiah:Nucl. Phys.,39, 95 (1962);B. Zumino:Journ. Math. Phys.,3, 1055 (1962);C. Bloch:Lectures on the Many-Body Nuclear Problem (Bombay, 1964).
R. Balian, C. De Dominicis andC. Itzykson:Nucl. Phys.,67, 609 (1965).
P. Cartier:Bull. Soc. Math. France,84, 241 (1956).
M. Gaudin:Nucl. Phys.,15, 89 (1960).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Balian, R., Brezin, E. Nonunitary bogoliubov transformations and extension of Wick’s theorem. Nuovo Cimento B (1965-1970) 64, 37–55 (1969). https://doi.org/10.1007/BF02710281
Received:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02710281