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Literatur
E. Cartan, La Géométrie des groupes de transformations. (J. Math. pures et appl., t. 6, 1927, pp. 1–119).
É. Cartan andJ. A. Schouten,On the Geometry of the Group-manifold of simple and semi-simple groups. (Proc. Akad. Amsterdam, t. 29, 1926, pp. 803–815).
La détermination de tous ces espaces est faite dans un mémoire dont la première partie vient de paraître. (Bull. Soc. Math. de France, t. 54, 1924, pp. 214–264). Voir aussiÉ. Cartan,Sur les espaces de Riemann dans lesquels le transport par parallélisme conserve la courbure. (Rend. Acc. Lincei, (6), t. 31, 1926, pp. 544–547).
H. Weyl, Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. (Math. Zeitschr., t. 23, 1925, pp. 271–309; t. 24, 1925, pp. 328–395).
E. Cartan, Les lenseurs irréductibles et les groupes linéaires simples et semi-simples. (Bull. Sc. Math., 2ème série, t. 49, 1925, pp. 130–152).
Le lecteur pourra à cet égard, se reporter à ma Thèse (Paris, Nony, 1894) ou an mémoire précédemment cité deH. Weyl; la lecture du mémoire cité dans la note (1) page 209, ne sera pas non plus inutile.
E. Cartan, Les tenseurs irréductibles et les groupes linéaires simples et semi-simples. (Bull. Sc. Math., 2ème série, t. 49, 1925, p. 135).
Voir, pour ce paragraphe et le snivant, le mémoire cité dans la note précédente, pp. 134–146.
L'entierl est le rang du groupe; c'est le nombre des coefficients de l'équation caractéristique du groupe qui sont indépendants. VoirE. Cartan,Thèse (Paris, Nony, 1894), p. 29.
Il peut y avoir des substitutions jouissant de cette propriété sans appartenir àG′. VoirE. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples. (Bull. Sc. Math., 2ème série, t. 49, 1925, pp. 365–366).
Cette interprétation du groupe G′ comme groupe de rotations et de symétries, ainsi que celle de ses opérations génératrices, est due àH. Weyl, Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. (Math. Zeitschr., 24, 1925, pp. 367–371). Le groupe G′ est le groupe (S) deH. Weyi.
Math. Zeitschr., t. 24, 1925, p. 379.
Math. Zeitschr., t. 24, 1925, pp. 380–381.
Les expressions générales des paramètres angulaires correspondant aux différents types simples se trouvent indiquées dans:E. Cartan,Thèse, pp. 81–93.
H. Weyl a démontré ce théorème pour les quatre grands types de groupes simples; pour les types exceptionnels, il a simplement montré que le groupe de connexion est fini. (Math Zeitschr., t. 24, 1925, pp. 380–381), mais sans exclure, semble-t-il, l'hypothèse de la non-existence d'un groupe linéaire simplement connexe.
Bull. Sc. Math., (2), t. 49, pp. 130–152, spécialement p. 150.
Il s'agit de l'espace à connexion affinesans torsion du groupe. VoirÉ. Cartan, La Géométrie des groupes de transformations. (J. de Math., t. 6, 1927, pp. 1–119).
É. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples. (Bull. Sc. Math., 2ème série, t. 49, 1925, pp. 361–374). A la vérité les résultats, sans que cela soit dit explicitement, se rapportent au groupe adjoint des groupes simplesà paramètres complexes, ainsi qu'à celui des groupesréels unitaires; dans les autre cas, il n'est pas certain, comme il est affirmé à la fin du n.o 2 (p. 365) de ce mémoire, que toute transformation du groupe adjoint mixte qui laisse invariante chacune des transformationsY d'un sons-groupe abélien γ appartienne au groupe adjointcontinu
VoirF. Enriques,Fondements de la Géométrie. (Encycl. Sc. Math., t. III, vol. I, fase. I, pp. 133–136). Nous distinguons iei les formes deKlein et les formes deClifford, au lieu de les confondre toutes, comme on le fait d'habitude, sons le nom de formes deClifford-Klein.
VoirE. Study-E. Cartan,Nombres complexes. (Encycl. Sc. Math., 15, n.o 31, pp. 438–440).
É. Cartan, La Géométrie des groupes de transformations. (J. Math., t. 6, 1927, pp. 71–75).
Ce théorème est dû àH. Weyl qui en a montré, dans les mémoires prédécemment cités, l'importance dans la théorie de la représentation des groupes semi-simples par des groupes linéaires. Voir une nutre démonstration dans mon mémoire, déjà cité: Les tenseurs irréductibles, etc. (Bull. Sc. Math., 2ème série, t. 49, 1925, pp. 132–159).
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Cartan, É. La géométrie des groupes simples. Annali di Matematica 4, 209–256 (1927). https://doi.org/10.1007/BF02409989
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02409989