Zusammenfassung
Das Quadraturverfahren vonClenshaw-Curtis benützt die Extremalstellen desTschebyscheff-PolynomsT n (x) als Knoten. Durch Abschätzen des Interpolationsfehlers leiten wir bei ungerader Stützstellenzahl ziemlich scharfe Fehlerschranken her. Dabei zeigt es sich, daß ein modifiziertes (offenes) Verfahren, welches nur die inneren Extremalstellen vonT n (x) als Knoten verwendet, günstigere Fehlerschranken liefert. Anschließend gewinnen wir mit Hilfe der algebraischen Approximationskonstanten verschiedene ableitungsfreie Fehlerschranken. Zum Schluß betrachten wir holomorphe Integranden; hier bietet uns dieTschebyscheff-Entwicklung der gegebenen Funktion einen günstigen Ausgangspunkt für Abschätzungen.
Summary
TheClenshaw-Curtis quadrature formula uses the extremal points of theChebyshev polynomialT n (x) as nodes. By estimating the error of interpolation we derive rather sharp error estimates if the number of nodes is odd. Thereby it appears that a modified (open) method which uses only the inner extremal points ofT n (x) as nodes gives better error estimates. In the following we gain some derivative-free estimates using the degree of approximation by algebraic polynomials. Finally we consider holomorphic integrands; here theChebyshev series expansion of the given function offers a favourable starting point for estimates.
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Locher, F. Fehlerabschätzungen für das Quadraturverfahren von Clenshaw und Curtis. Computing 4, 304–315 (1969). https://doi.org/10.1007/BF02235465
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