Abstract
Хорошо известно, что в ероятностное поведе ние лакунарного тригоно метрического ряда {cos 2πn kx} тесно связ ано с «критическим» у словием лакунарности
. Например, если выполн ено условие (*), то последовательность {cos2πn kx} удовлетворяет центральной предель ной теореме, и при этом условие (*) не может быть ослабле но. Для последовательносте й, удовлетворяющих (*), и звестны и другие результаты по добного рода, в то время как для более медленно расту щих последовательносте й {nk} не известно, по-видимому, ничего. В с татье развит метод, ко торый при помощи мартингально й техники позволяет проводить исследование систем {cos 2πnkx} для последовательно стей, не удовлетворяю щих условию (*). Получено про стое объяснение условия (*), изучено, как «пропа-дает» центральная предель ная теорема при посте пенном ослаблении условия (*) и дока-заны некоторые центральн ые предельные теорем ы в отсутствие этого усл овия. Получены другие предельные те оремы для {cos 2πnkx}, напри мер, закон повторного лог арифма и принципы инвариантн ости.
Article PDF
Explore related subjects
Discover the latest articles, news and stories from top researchers in related subjects.Avoid common mistakes on your manuscript.
References
A. Baker, On some diophantine inequalities involving the exponential function,Canad. J. Math.,17 (1965), 616–626.
I. Berkes, Approximation of lacunary Walsh series with Brownian motion,Studia Sci. Math. Hangar.,9 (1974), 111–122.
I. Berkes, On the asymptotic behaviour ofεf (n kx). I. Main theorems,Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete,34 (1976), 319–345.
I. Berkes, On the asymptotic behaviour ofεf (n kx). II. Applications,Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gebiete,34 (1976), 347–365.
I.Berkes, A central limit theorem for trigonometric series with small gaps,Z. Wahrschein-lichkeitstheorie und verw. Gebiete (to appear).
P. Billingsley,Convergence of probability measures, Wiley (New York, 1968).
P. Erdős, On trigonometric sums with gaps,Magyar Tud. Akad. Mat. Kut. Int. Közl.,7 (1962), 37–42.
H. Halberstam andK. F. Roth,Sequences. I, Clarendon Press (Oxford, 1966).
C. C. Heyde andB. M. Brown, On the departure from normality of a certain class of martingales,Ann. Math. Statist 41 (1970), 2161–2165.
K. Mahler, On a paper by A. Baker on the approximation of rational powers ofe, Acta Arith.,27 (1975), 61–87.
W.Philipp and W. F.Stout, Almost sure invariance principles for sums of weakly dependent random variables,Mem. Amer. Math. Soc., No.161.
T. Schneider,Einführung in die Transcendenten Zahlen, Springer (Berlin, 1957).
V.Strassen, Almost sure behaviour of sums of independent random variables and martingales,Proc. 5th Berkeley Sympos. Math. Statist. Probab., Vol. II, Part I; 315–343 (Univ. of California Press, 1967).
S. Takahashi, On lacunary trigonometric series. II,Proc. Japan Acad.,44 (1968), 766–770.
S. Takahashi, On the law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series,Tôhoku Math. J.,24 (1972), 319–329.
S. Takahashi, On the law of the iterated logarithm for lacunary trigonometric series. II,Tôhoku Math. J.,27 (1975), 391–403.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Berkes, I. On the central limit theorem for lacunary trigonometric series. Analysis Mathematica 4, 159–180 (1978). https://doi.org/10.1007/BF01908987
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01908987