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Und analog für “n-dimensionale Mannigfaltigkeiten” in dem allgemeineren in der Analysis situs heute üblich gewordenen Sinn.
Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213.
Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen worden. Vgl. drei Postulate für “Verdichtungsstellen” von F. Riesz, Atti del IV. congresso dei Matematici, Roma 1908, t. 2, p. 19. Über ein viertes von W. Groß aufgestelltes Postulat für Häufungspunkte vgl. die kürzlich erschienene Arbeit von L. Vietoris, Monatshefte f. Math. u. Phys.81 (1921), S. 176.
Auf diese Axiomensysteme wurde schon gelegentlich hingewiesen, Jahresber. der Deutsch. Math. Ver.29 (1920), S. 112, Anm. 20.
Auf andere Weise hat Hausdorff durch Abzählbarkeitsaxiome solche Einengungen vorgenommen. Die Beziehungen dieser Abzählbarkeitsaxiome zu den Trennbarkeitsaxiomen werden nur gelegentlich (Nr. 23) gestreift.
Sur un théorème équivalent à l'hypothèse du continu, Bull. Acad. Scienc. Cracovie, 1919. Den Hinweis auf diese Arbeit und Auskunft über ihren Inhalt verdanke ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn F. Hausdorff.
Dementsprechend lassen sich auch jene Unabhängigkeitsfragen ohne Heranziehung dieser Theorie erledigen.
Zu dieser Nummer vgl. F. Hausdorff, l. c. 2) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213, Kap. VII, §§ 2, 3.
Vgl. C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen (1918), S. 40. Daß für den wichtigen Begriff der offenen Menge ein eigenes Substantiv erwünscht wäre, hatte F. Hausdorff, l. c. 2) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 215 mit Recht hervorgehoben und dafür das WortGebiet gebraucht. Doch sind ihm spätere Autoren hierin nicht gefolgt. Tatsächlich scheint mir dieses Wort weit eher auf etwas Zusammenhängendes als auf ein “Inneres” hinzuweisen.
Wenn nämlich das Relative dieser Eigenschaft zum Raum betont werden soll, vgl. Nr. 6.
F. Hausdorff, l. c. Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 261, mit etwas anderem Ausgangspunkt für die Definition.
Diese Auffassung des Umgebungsbegriffes für die jeweils betrachteten (euklidischen oder metrischen) Räume findet man bei C. Carathéodory, l. c. 10) Vorlesungen über reelle Funktionen (1918), S. 37; H. Hahn, l. c. 13) Theorie der reellen Funktionen, I. (1921), S. 65.
Vgl. Math. Zeitschr.5 (1919), S. 288. Die gleichzeitige Betrachtung dieser allgemeineren Umgebungen und der Umgebungen im ursprünglichen durch Hausdorffs Theorie fest gelegten Sinn machte für die ersteren eine besondere Bezeichnung notwendig.
Vgl. Hausdorff, l. c. 2) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 242.
Nach. F. Klein, Math. Ann.9 (1876), S. 478.
Vgl. Hausdorff, l. c. 2) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 244; ebenso schon (für speziellere Räume) H. J. Lennes, Am. Journ. of Math.33 (1911), S. 303; analog schon früher fürabgeschlossene Mengen C. Jordan, Cours d'analyse, 2. éd. (1893), t. 1, p. 25 (d'un seul tenant).
Der Begriff wurde (für metrische Räume) eingeführt von H. Hahn, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver.23 (1914), S. 318, Sitzungsber. d. Wien. Akad. d. Wiss.123 (1914), S. 2433 und in anderer Ausdrucksweise von St. Mazurkiewicz, vgl. Fundamenta mathematicae,1, S. 166 und weitere dort angegebene Zitate, ein verwandter Begriff vorher von Pia Nalli, Rend. d. Circ. Mat. di Palermo32 (1911), S. 392. Vgl. ferner H. Hahn, Fund. math.2, S. 189. Die zweite Form obiger Definition für allgemeine topologische Räume wurde l. c. 17) Math. Zeitschr.5 (1919) gegeben.
Z. B. ist dies nicht der Fall, wenn ℜ aus allen Punkten der Geraden ξ=0 und ξ=1/n (n=1, 2, ...) besteht, wie die Betrachtung der Umgebung eines Punktes auf ξ=0 zeigt. Komponenten sind dabei die einzelnen Geraden.
Man kann auch, wie Frl. E. Noether gelegentlich bemerkte, die Frage nach der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primfaktoren stellen, von deren Beantwortung wir aber wohl noch recht entfernt sind.
D. Hibert, Math. Ann.56 (1902)=Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl. (1909), S. 197; M. Fréchet, Rend. d. Circ. Mat. di Palermo22 (1906), S. 1.
Man vgl. die Räume, die nach Hausdorff, l. c. 2) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213. Kap. 7, § 1, S. 214 durch transfinite geordnete Mengen dargestellt werden; siehe auch diese Beiträge II das Beispiel in § 4.
Vgl. Hausdorff, l. c. 2) Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213. Kap. 8. Im übrigen scheint mir für die erwähnte Frage nützlich, die Axiome, die die Umgebungen nureines Punktes (bzw. die Folgen mitdemselben Punkt als Limes) betreffen, zu unterscheiden von jenen, die sich auf mehrere Punkte beziehen.
l. c. 3) Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen worden. Vgl. drei Postulate für “Verdichtungsstellen” von F. Riesz, Atti del IV. congresso dei Matematici, Roma 1908, t. 2, S. 176.
Vgl. Carathéodory, l. c. 10) Vorlesungen über reelle Funktionen (1918); Hahn, l. c. 15) Diese Auffassung des Umgebungsbegriffes für die jeweils betrachteten (euklidischen oder metrischen) Räume findet man bei C. Carathéodory, l. c. 10), S. 37; H. Hahn, l. c. 13) Theorie der reellen Funktionen, I. (1921), S. 65.
Nach Hausdorff, l. c. Im Anschluß an F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 214.
Daß jedes dieser Axiome wirklich immer wieder eine stärkere Einschränkung des Raumbegriffs bewirkt, wird in Nr. 11, 14, 15 gezeigt.
Die Buchstaben (E), (F) mögen den von Hausdorff so bezeichneten Abzühlbarkeitsaxiomen vorbehalten bleiben.
Das zeigt auch ein Beispiel von L. Vietoris, l. c. 3) Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen worden. Vgl. drei Postulate für “Verdichtungsstellen” von F. Riesz, Atti del IV. congresso dei Matematici, Roma 1908, t. 2, S. 174/175, das (G1) als unabhängig von (A...D) nachweist.
Der Beweis verläuft durchaus parallel mit einer Schlußweise von W. Sierpiński; vgl. Nr. 18.
Verallgemeinerungen dieser Frage auf “mehrdimensionale Räume” von ”Punkten” (x 1,x 2, ...,x n ) (n>2) bleiben hier außer Betracht.
Vgl. auch L. Vietoris, l. c. 3) Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen worden. Vgl. drei Postulate für “Verdichtungsstellen” von F. Riesz, Atti del IV. congresso dei Matematici, Roma 1908, t. 2, S. 174, Beispiel für Unabhängigkeit (D′) von (A), (B), (C).
l. c., Vgl. auch L. Vietoris, l. c. 3) Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen Vgl. auch L. Vietoris, l. c. 3) Auch der Begriff des Häufungspunktes ist zum Ausgangspunkt genommen congresso dei Matematici, Roma 1908, t. 2, S. 174; analog läßt sich das von Vietoris wie hier mit (D) bezeichnete Axiem aus seinen Axiomen (A), (B), (C), (E) zusammen mit (D′) folgern.
Bezüglich des Trennbarkeitsaxioms (G0), bzw. (G2) vgl. auch Vietoris, l. c., S. 175, Anm. 6.
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Tietze, H. Beiträge zur allgemeinen Topologie. I. Math. Ann. 88, 290–312 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01579182
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