Article PDF
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
In Math. Ann.70, S. 166–168. Vgl. ferner Fund. Math.2, S. 257.
Im Crelleschen Journal142 (1913), S. 150 — Ein zweiter Beweis findet sich bei Lebesgue in Fund. Math.2, S. 257.
Unter einem offenen Gebiet (des Euklidischenn-dimensionalen Raumes) versteht man eine Menge, die aus lauter inneren Punkten besteht. Ein abgeschlossenes Gebiet ist per Definition ein offenes Gebiet mitsamt seinem Rand. — Formal gilt der Satz auch für nicht-beschränkte Gebiete, dieselben lassen sich doch überhaupt nicht in endlich viele beschränkte Mengen zerlegen.
D. h. kleiner als eine gewisse nur von dem betrachteten Gebiet abhängige Schranke.
Vgl. die sub 1) In Math. Ann.70, S. 166–168. zitierten Arbeiten von Lebesgue.
Vgl. Brouwer, Math. Annalen70, S. 161.
Dies ergibt sich sofort aus der Tatsache, daß jede ein-eindeutige stetige Abbildung einer beschränkten abgeschlossenen Menge gleichmäßig stetig ist.
Vgl. Lebesgue, Fund. Math. 2, S. 265 ff.
Vgl. etwa Menger, Bericht über die Dimensionstheorie, Jahresber. d. D. Math.-Ver.35 (1926), S. 113.
Das erste Mal wurde das Theorem von Brouwer (in der sub 2) Im Crelleschen Journal142 (1913), S. 150. zitierten Arbeit) bewiesen. Über weitere Literatur vgl. Menger, S. 123. — Aus dem genannten Theorem in Verbindung mit der fast trivialen Tatsache, daß die Dimension eine topologische Invariante von Punktmengen ist, folgt der oben angeführte Bronwersche “Invarianzsatz”.
Daß die Dimension desR R nicht größer ist alsn, ist höchst einfach zu zeigen; vgl. etwa. Menger, Monatshefte. f. Math. u. Phys.34 (1924), S. 152.
D. h. ein kompakter Raum von einer Dimension <n ist in endlich viele beliebig kleine abgeschlossene Teile zerlegbar, die zu jen+1 fremd sind (vgl. Menger, letztes Zit., S. 153; Urysohn, Fund. Math.8, S. 292). Von Urysohn (vgl. die soeben zitierte Abhandlung, S. 294) wurde gezeigt, daß dieses Verhalten für die weniger alsn-dimensionalen kompakten Räume auch charakteristisch ist, so daß also zwischen dem Satz (A) und der Behauptung, daß derR n mindestensn-dimensional ist, eine vollständige Äquivalenz besteht.
Vgl. Fund. Math.2 (1921), S. 257.
In dem während der Korrektur dieser Arbeit erschienenen Aufsatze von E. Sperner (Abhandlungen des Hamburgischen Math. Sem.6, S. 265–272, eingereicht im Juni 1928) findet sich ein Beweis des Lebesgue-Brouwerschen Theorems, welcher mit dem hier dargelegten eine weitgehende Analogie aufweist.
Den Indexn werden wir, wofern keine Mißverständnisse entstehen können, weglassen.
Diese Zerlegungen wurden zum anderen Zwecke bereits von Lebesgue l. c. 8) Fund. Math.2, S. 265 ff. verwendet. Vgl. oben Fußnote 8) und die zugehörige Stelle im Text.
Wir bezeichnen nämlich eine aus nur einem Punkte bestehende Menge als ein 0-dimensionales Intervall.
Es sei der Vollständigkeit halber bemerkt, daß die Bedingung 2. von selbst erfüllt ist, wenn 1. gilt und überdies die TeilintervalleZ i so klein sind, daß keines von ihnen zwei gegenüberliegende Seiten des IntervallsI verbindet. Im folgenden findet diese Bemerkung keinerlei Anwendung.
Vgl. Lebesgue a. a. O. Fund. Math.2, S. 266. — Man kann dies anders zeigen, indem man sich auf die folgende Bemerkung stützt: Es liege eine ziegelartige Zerlegung des IntervallsI in die IntervalleZ i (i=1, 2, ...,m) vor. Zerlegt man eines der letztgenannten Intervalle, etwaZ 1, in zwei IntervalleZ ′1 undZ ′1 , so ist auch die Zerlegung vonI in diem+1 IntervalleZ ′1 ,Z ′1 ,Z i (i=2, 3, ...,m) ziegelartig, wofern nur dieZ ′1 undZ ′1 trennende (n−1)-dimensionale Ebene mit keiner der Grenzebenen der IntervalleZ 2, ...,Z m zusammenfällt. Wenn man nun von einer beliebigen ziegelartigen Zerlegung vonI ausgeht (etwa von der trivialen “Zerlegung”, bei derI selbst als das einzige Teilintervall auftritt) und durch wiederholte Anwendung der obigen Bemerkung die Intervalle der Zerlegung sukzessiv verkleinert, gelangt man schließlich zu einer Zerlegung von dem vorgeschriebenen Feinheitsgrad.
Wir erinnern daran, daß jen Intervalle (′) entweder keinen gemeinsamen Punkt haben, oder eine (zu einer der Koordinatenachsen parallele) Strecke als Durchschnitt haben.
Angenommen nämlich, der Punktp der Streckes gehört außer den IntervallenZ i 1,Z i 2, ...,Z i n , deren Durchschnitts ist, noch einem IntervalleZ k an. Dann istp dereinzige Punkt des DurchschnittesZ i 1−Z i 2 ...Z i R−Z k , also der einzige gemeinsame Punkt desn-dimensionalen IntervallsZ k und des ein-dimensionalen Intervallss, was nur dann möglich ist, wennp Endpunkt vons ist.
Bei Lebesgue, Fund. Math.2, S. 257 wird die analoge Behauptung für Komplexe aus Intervallen einer “Gitterzerlegung” bewiesen. Für ziegelaitige Zerlegungen gestaltet sich der Beweis, wie wir sogleich sehen werden, wesentlich einfacher.
Dagegen erfüllen die MengenE i fürn>1 die Voraussetzung des Satzes (A′) nicht.
Die Rolle der SeitenB i bzw.B ′2 (i=1, ...,n−1) wird nämlich von den Projektionen dieser Seiten aufB n übernommen.
Aus der Bemerkung (b) in § 1 folgt, daß ein Punkt vonP dann und nur dann ein Eckpunkt ist, wenn in ihmn+1 IntervalleZ i zusammenstoßen.
Mit Rücksicht auf 25) Aus der Bemerkung (b) in § 1 folgt, daß ein Punkt vonP dann und nur dann ein Eckpunkt ist, wenn in ihmn+1 IntervalleZ i zusammenstoßen. ist jeder Punkt vonII Eckpunkt vonP.
Daßp Endpunkt der letzteren Strecke ist, folgt aus der Behauptung 2 in § 1.
Man kann II auch in der Gestalt aussprechen: Die MengeP besteht aus einer Anzahl von (geschlossenen oder nicht geschlossenen) Streckenzügen, deren im Innern vonI gelegene Endpunkte mit den Punkten vonII übereinstimmen.
Es sei nachdrücklich auf denrein kombinatorischen Charakter aller bisherigen Überlegungen hingewiesen. Daß wir scheinbar die Geometrie der kontinuierlichen Mannigfaltigkeiten verwendeten, diente nur zur Vereinfachung.
(Zusatz bei der Korrektur.) Der angeführte Beweis wurde auf Grund meiner mündlichen Mitteilungen von Menger in seinem unlängst erschienenen Buche “Dimensionstheorie” (Leipzig 1928) reproduziert (S. 254–258). Zu beachten ist, daß sich in die Mengersche Darstellung ein Fehler eingeschlichen hat, indem dort die Gültigkeit der für die MengenD i (bei Menger heißen dieselbenA i ) im Satz (A′) vorausgesetzten Bedingung auch für die Mengen3 i (bei MengerB i ) des Satzes (A″) angenommen wird. Vgl. oben Fußnote 22a).
Vgl. Lebesgue, a. a. O. Fund. Math.2, S. 259. Im Gegensatz zu den bisher verwendeten “finiten” Schlüssen hat dieser Schluß einen infinitesimalen Charakter.
Unter einer UmgebungU (A, p) versteht man die Menge aller Punkte, die von der gegebenen MengeA einen Abstand kleiner alsp haben.
Daß eine derartige Zerlegung existiert, haben wir in § 1 gesehen.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Hurewicz, W. Über ein topologisches Theorem. Math. Ann. 101, 210–218 (1929). https://doi.org/10.1007/BF01454833
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01454833