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Literatur
“Sur les surfaces définies au moyen de leur courbure moyenne ou totale.” Annales de l'École Normale (3)27 (1910) und “Sur les équations du calcul des variations.” Annales de l'École Normale (3)29 (1912).
“Die Lösung des Plateauschen Problems über konvexen Bereichen.” Mathematische Annalen94 (1925).
“Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du type elliptique.” Mathematische Annalen95 (1926).
Mathematische Annalen96 (1926).
Die Ritzsche Methode benutzt denselben Gedanken; freilich ist die Konvergenz der Minimalfolge bei den von Ritz behandelten Problemen eine Folge des Umstandes, daß das zugrunde gelegte Integral die zweiten Ableitungen der unbekannten Funktion enthält, in welchen Fällen eine Verallgemeinerung des bekannten Osgoodschen Satzes anwendbar ist. Auf diesen glättenden Einfluß der höheren Ableitungen habe ich in einem Vortrag in der mathematischen Gesellschaft in Göttingen (26. Juli 1910) aufmerksam gemacht.
Sul principio di minimo di Dirichlet.” Annali di Matematica (3)15 (1908) S. 125.
“Intégrale, Longueur, Aire.” Annali di Matematica (3)7 (1902).
“Geometrische Betrachtungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme.” Acta scientiarum universitatis Franc. Jos Szeged2 (1926).
“Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen.” I und II. Mathematische Annalen79 und 81 (1919 und 1920).
“Über den analytischen Charakter der Minimalflächen.” Mathematische Zeitschrift24 (1925).
S. 344 der in 7) “Intégrale, Longueur, Aire.” Annali di Matematica (3)7 (1902). angeführten Abhandlung. Es ist das Verdienst von Herrn L. Tonelli, die Wichtigkeit der Halbstetigkeit des Integrals bei der Anwendung der direkten Methode der Variationsrechnung hervorgehoben zu haben. Vgl. sein inhaltsreiches Werk “Fondamenti di calcolo delle variazioni I. II., Bologna. [Anmerkung während der Korrektur.] Für den speziellen Fall des Plateauschen Variationsproblems folgt dieser Hilfssatz, sowie auch der folgende Hilfssatz II, aus den wichtigen Ergebnissen, die Herr L. Tonelli kürzlichst (nach Einreichen der vorliegenden Arbeit) über den Flächeninhalt veröffentlicht hat. Vgl. “Sulla quadratura delle superficie”. Atti della Reale Accademia dei Lincei (6)3 (1926), S. 357, 445, 633.
Für den speziellen Fall des Flächeninhaltes folgt dieser Satz aus den Untersuchungen von Z. de Geöcze; vgl. seine Thèse: “Quadrature des surfaces courbes.” Teubner, 1909. Vgl. auch Anm. 11).
Vgl. die in 9) angeführte erste Arbeit von Herrn Rademacher S. 347.
Die Gesamtheic dieser Funktionen möge mit (G) bezeichnet werden; übrigens kann man statt Δ+1 jede Größe, die größer als Δ ist, verwenden.
Für Polyederflächen ist dieser Satz von Herrn H. Lebesgue (a. a. O. S. 349) bewiesen; für stetig gekrümmte Flächen benutzt ihn Herr S. Bernstein, S. 235 der ersten in Anmerkung 1) “Sur les surfaces définies au moyen de leur courbure moyenne ou totale.” Annales de l'École Normale (3)27 (1910) genannten Arbeit. Für die vorliegenden Untersuchungen ist es entscheidend, den Satz in voller Allgemeinheit zu besitzen. In seiner ersten Arbeit über diesen Gegenstand: “Über das Dirichletsche Prinzip” (Jabresbericht d. deutschen Mathematiker-Vereinigung8 (1900)) deutet Herr Hilbert einen Weg für die Behandlung der gewöhnlichen Randwertaufgabe der Potentialtheorie an, der manche Analogie mit diesem Satze aufweist. Vgl. auch 8) “Geometrische Betrachtungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme.” Acta scientiarum universitatis Franc. Jos. Szeged2 (1926).
Journal für Mathematik149 (1919). Herr L. Lichtenstein gab am Schlusse seiner Arbeit “Bemerkungen über das Prinzip der virtuellen Verrückungen in der Hydrodynamik inkompressibler Flüssigkeiten”. (Annales de la société polonaise de mathématique 1924, S. 20–28) einen äußerst einfachen und eleganten Beweis meines daselbst benutzten Hilfssatzes.
Bemerkung über die Differentialgleichungen zweidimensionaler Variationsprobleme”, Acta scientiarum universitatis Franc. Joseph. Szeged2 (1925).
Alle FlächenF ε enthalten die RaumkurveC, da falls ξ, η die Koordinaten irgendeines Punktes von γ bezeichnen, die Transformationsgleichungen (7) wegen ζ (ξ, η)=0 in die Identitätx=ξ,y=η übergehen.
S. 359 der ersten in 9) “Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen.” I und II. Mathematische Annalen79 und 81 (1919 und 1920).
Vgl. etwa C. Carathéodory: Reelle Funktionen. Leipzig 1918, S. 627 u. 628.
a. a. O. 10) “Über den analytischen Charakter der Minimalflächen.” Mathematische Zeitschrift24 (1925) und 22) “Bemerkung über die Differentialgleichungen zweidimensionaler Variationsprobleme”, Acta scientiarum universitatis Franc. Joseph. Szeged2 (1925).
vgl. H. Rademacher, a. a. O. 9). S. 347, Gleichung (27).
“Réduction des intégrales doubles de Lebesgue”. Bulletin de l'Académie Royale de Belgique (Sciences) 1910.
”Über streckentreue und winkeltreue Abbildung.” Mathematische Zeitschrift4 (1919).
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Haar, A. Über das Plateausche Problem. Math. Ann. 97, 124–158 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447864
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