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Literatur
Nach dem Abschluss dieser Arbeit ist inzwischen die Abhandlung von E. Study über “Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Functionen” im XX. Bande der Abhandlungen der mathem.-physikal. Classe der Kgl. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften erschienen. Freilich verlangt unsere Fragestellung von vornherein einen anderen Standpunkt in der sphärischen Trigonometrie, indem für uns insbesondere stets die “Dreiecksfläche” im Mittelpunkte des Interesses steht, während bei Study nach dem Vorgange von Möbius das allgemeine Dreieck als Gebilde dreier grösster Kreise der Kugel erscheint, welches durch Festlegung des Drehungssinnes in den Seiten und Winkeln näher definirt ist. Gleichwohl ist die Beziehung beider Arbeiten an manchen Punkten unverkennbar. (Vgl. auch den im ersten Hefte dieses Anualenbandes erschienenen Aufsatz von Hrn. Schoenflies: Ueber Kreisbogendreiecke und Kreisbogenvierecke.)
Dieselbe ist in dieser Form zuerst von Hrn. Klein aufgestellt worden: Ann. 12, p. 170, 1876; an sie knüpft später Papperitz an, Ann. 25, p. 214, 1884.
Vergl. z. B. Schellenberg, Diss. Göttingen 1892: Neue Behandlung der hypergeometrischen Function auf Grund ihrer Darstellung durch das bestimmte Integral, pag. 5.
Man sehe das erste Auftreten dieser Abbildung in Riemann's posthumer Minimalflächenarbeit, Ges. Werke 1. Aufl., 1876, pag 283 (zuerst 1867 veröffentlicht), sowie l. c. pag. 417; sodann Schwarz: “Ueber einige Abbildungsaufgaben”, (1869) Ges. Abh. II, pag. 78–80, “Abbildung der Oberfläche eines Tetraeders auf die Oberfläche einer Kugel”, (1868) Ges. Abh. II, pag. 100–101, “Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung Δu=0 etc..”, (1870) Ges. Abh. II, pag. 144-45, “Bestimmung einer spec. Minimalfläche”, (1871) Ges. Abh. I, pag. 25.
Crelle's Journal, Bd. 75 (1873), pag. 292–335, Ges. Abh. II, pag. 211–259 und 172–74.
“Ueber die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe”, Ann. Bd. 37, pag. 579 ff. 1890.
Im Gegensatze zu Möbius, der dieLinienzüge dreier Bogen grösster Kreise als allgemeines sphärisches Dreieck bezeichnet, vgl. Ges. Werke II, p. 1–54, p. 71–88.
Cayley, Sixth memoir upon Quantics, Phil. Transactions t. 149, 1859. Collected mathem. Papers II, p. 561.-Klein, Annal. Bd. 4, pag. 573 ff., 1871; Bd. 6, pag. 112 ff., 1873.
Crelle's Journal, Bd. 75, pag. 316; Ges. Abh. II, pag. 238; sowie Klein-Fricke, ellipt. Modulfunctionen, 1890, I, pag. 85 ff.
Man sehe Klein, Math. Ann. Bd. 40, pag. 138 (1892)
Vgl Klein: “Ueber den Begriff des functionentheoretischen Fundamentalbereichs”, Ann. 40, pag. 130 ff. (1892).
Vgl. Klein-Fricke, Ellipt. Modulfunctionen, Bd. I, 1890, pag. 165.
Man sehe z. B. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin 1853, Art. 280 u. 346; Thomson u Tait, Natural Philosophy, Cambridge 1886, I. Art. 95.
Man sehe pag. 175 f. dieser Arbeit.
Das bezügliche Resultat ist bereits in den Göttinger Nachrichten von Jahre 1891, p. 188–190 (abgedruckt in den Math. Ann. Bd. 39, 1891, p. 598–600 von mir angegeben.
Auf gewisse Fälle eines unbestimmten Kernes und die damit in Zusammenhang stehenden Modificationen, welche die folgenden Sätze für ganzzablige Werthe der Grössen λ, μ, ν etwa erleiden, sei an dieser Stelle nur eben hingewiesen.
Man sehe Papperitz, Math. Ann. Bd. 25, 1885, pag. 218.
“Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlechte Null”, Math. Ann. Bd. 41, 1893, pag. 1 ff.
Man sehe Fig. 39 pag. 168 der Ellipt. Modulfunctionen von Klein-Fricke, I. Bd. 1893.
Vgl. Klein-Fricke, Ellipt. Modulfunctionen, Bd I, 1890, pag. 168, 172;
Unter einer elliptischen Kreisschaar verstehen wir die Gesammtheit aller urch 2 feste Punkte gehende Kreise, indem diese auf ihrer gemeinsamen Centrale ine elliptische Involution bestimmen; unter einer hyperbolischen die Gesammtheit er zu ersteren orthogonalen Kreise, die also auf ihrer Centrale eine hyperbolische ovolution bestimmen. Vgl. Klein-Fricke, Ellipt. Modulfunctionen, Bd. I, 1890, ag 165, Anm.
Vgl. Figur 41 der Modulfunctionen pag. 172; sowie Holzmüller, Zeitchrift für Math. und Physik von Schlömilch, 1871, pag. 201 ff.: “Ueber logarithlische Doppelspiralen”.
Vgl. die Bemerkungen auf Seite 166 dieser Arbeit.
Es sei auf einige Arbeiten des Herrn Wiener hingewiesen (Sächsische Berichte, 1890 p. 13, 71, 245 und 424 ff.), woselbst ganz analoge Betrachtungen für den Euklidischen Raum durchgeführt werden; man vgl. z. B. p. 22, sowie p. 439 ff. Wie Herr Wiener erwähnt, hat bereits Halphen diese Methoden für die Schrauben-bewegung des gewöhnlichen Raumes benutzt in Nouv. Ann. de Math. III. Série, I, 1882, p. 296–299. Ferner sehe man auch Study, Von den Bewegungen und Umlegungen. Ann. Bd. 39, 1891, p. 469.
Vergl. Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie III, 1, 1891, p. 505, sowie auch Wedekind, Studien im binären Werthgebiet, Karlsruhe, 1876, p. 9 ff.
Eine Verallgemeinerung dieser Betrachtungen ergiebt z. B. den Satz: Jede beliebige Schraubenbewegung kann in die Aufeinanderfolge dreier Schrauben-bewegungen um drei vorgegebene Axen zerlegt werden.
Vgl. Klein, Ann. 9,, 1876, p. 186–187.
Von dem Specialfalle, dass die 3 inneren Axen sich auf der Kugel in einem Punkte schneiden, zugleich dem Uebergangsfall von 1 und 2, werden wir später noch ausführlich handeln. Wir erkennen schon jetzt, dass dann die zugehörigen Fundamentalsubstitutionen keineswegs ohne Weiteres eindeutig bestimmt sind, allemal jedoch eine Auswahl derselben 3 elliptische Substitutionen darstellt, vgl. pag. 172 und pag. 195 u. 196.
Für reelle Werthe der Grössen λ, μ, ν wird man diese Formel leicht mit der Form der Doppelverhältnisse von 4 Kugelpunkten in Beziehung setzen können, wie sie Hr. Wedekind in seinen “Beiträgen zur geometrischen Interpretation binärer Formen” angiebt (Diss. Erlangen, 1875, pag. 12). Man vergleiche auch die bezüglichen Formeln in der bereits genannten Arbeit Riemanns, Ges. Werke 1876, pag. 68, sowie Papperitz, Ann. 25, 1885, pag. 217.
Papperitz, Ann. 25, 1885, pag. 212 ff.; Ann. 26, 1886, pag. 97 ff.
—, Vgl. pag., 172.
Dieselbe dürfte in mancher Beziehung einfacher sein als die von Hrn. Wedekind l. c. gegebene Definition. Aus ihr folgen z. B. sofort die von ihm in seinen “Studien im binären Werthgebiet” (Habilitationsschrift, Karlsruhe 1876) mit Hülfe der Begriffe “Moment und Comoment” zweier Geraden abgeleiteten Formen des Doppelverhältnisses von 4 Kugelpunkten.
1884. Besonders sei auf die Litteraturangabe l. c. p. 36, Anm. hingewiesen.
Gemäss Formel 12 pag. 34 der Vorles. über das Ikosaeder.
Vgl. Hamilton, Lectures on Quaternions, Dublin 1853, Art. 524, 526, 529; sowie Papperitz, Untersuchungen über algebraische Transformation der hypergeometrischen Functionen. Habilitationsschrift, Leipzig 1886, p. 20 ff. Ann. 27. 1887, p. 232 ff.
Man vgl. z. B. Stolz: “Ueber eine analytische Entwicklung der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie etc.” (Schlömilch's Zeitschrift, Bd. XVI, 1871, pag. 175. — Das von mir gefundene allgemeine Resultat ist in aller Kürze bereits in den Göttinger Nachrichten vom Jahre 1891, pag. 188, sowie in den Math. Ann. Bd. 39, 1891, p. 598 veröffentlicht worden. Es sei an dieser Stelle auch hingewiesen auf die Behandlung der trigonometrischen Formeln in der nicht-Euklidischen Geometrie, z. B. Lobatcheffsky, Ges. Werke (Kasan 1883, 1886) Bd. II, pag. 577, 586, 630, sowie Frischauf “absolute Geometrie nach J. Bolyai”, 1872, pag. 51 ff., von neuerer Litteratur sei nur Clebsch-Lindemann, “Vorlesungen über Geometrie” II, 1 pag. 480 ff. und 519 erwähnt. Unsere specielle Fragestellung erlaubt hier nicht, den analogen Sätzen, die bei anderer Maassbestimmung im Raume sich unseren Entwicklungen zur Seite stellen, weiter nachzugehen. Dass dieselben mir jedoch keineswegs entgangen sind, wie Herr Study in seiner Arbeit in den Abh. der Sächs. Gesellschaft der Wissensch. Bd. XX, 1893, pag. 229 meint, scheint doch wohl selbstverständlich.
Man kann auch leicht die Hülfsaufgabe mit der folgenden identificiren:Auf der Kugel ist durch zwei einander entsprechende Punktetripel p, q, r und p′, q′, r′ eine projective Beziehung festgelegt; es gilt, die Doppelpunkte der letzteren zu construiren. Man hat einfach zu dem Zweck drei in geeigneter Weise ausgewählte Punkte der Kugel durch die SubstitutionenB −1 undC in drei neue Punkte zu transformiren. Die Doppelpunkte der durch diese beiden Punktetripel bestimmten projectiven Beziehung stellen dann die gesuchten Doppelpunkte der SubstitutionA dar. Vgl. die Lösung jener Aufgabe bei Wedekind, Diss. Erlangen (1875) pag. 30.
Für den speciellen Fall, dass das gesuchte Punktepaar zu den beiden gegebenen gemeinsam harmonisch gelegen sein soll, ist eine einfache Construction nach der Mittheilung des Herrn Klein von Herrn Wedekind in seiner Diss. (Erlangen 1875) pag. 31 ff. angegeben. Wir haben diese Construction ja bereits anzuwenden Gelegenheit gehabt. — Interessant ist insbesondere der Specialfall, dass je zwei der drei Punktepaare ein reelles Doppelverhältniss darbieten; derselbe führt insbesondere auf solche Geradengebilde 1, 2, 3, wie sie zu dem Kern reeller oder rein imaginärer λ, μ, ν gehören (Wedekind, 1. c. pag. 25).
Diss. (Erlangen 1875) Vergl. pag. 222 und pag. 172 Nr. 2.
Diss. (Erlangen 1875) Vergl. pag. 187 und 188, sowie pag. 199 und 200.
Vgl. Schwarz. Ges. Abh. II. pag. 256, insbesondere auch für das Folgende, sowie Schellenberg, Diss. Göttingen 1892, pag. 65, woselbst dieselben Bedingungen bei derAnalytischen Untersuchung betr. das Wegfallen der Logarithmen hervortreten.
Vergl. die etwas abweichende Definition des reducirten Dreiecks bei Hrn. Schwarz, 1872, Ges. Abh. II. pag. 235–236, sowie bei Hrn. Klein, 1890, Ann. 37, pag. 580.
Ein solcher Weg ist in der Darstellung des Hrn. Klein befolgt, Ann. 37, 1890, p. 579 ff.
Alle diese Gedanken finden sich näher ausgeführt in Olbricht, Dissertation, Leipzig 1887; abgedruckt in den Acta Leopoldina Bd. 52.
Schwarz, 1873, Ges. Abh. II, pag. 233.
—Vgl. pag. 203 dieser Arbeit.
Vgl. pag. Schwarz, 1873, Ges. Abh. 208.
indem negative Flächenstücke des Bereiches hier einstweilen von der Betrachtung ausgeschlossen bleiben, vgl. pag. 182 dieser Arbeit.
v. pag. Schwarz, 1873, Ges. Abh. 256 dieser Arbeit.
Vgl. pag. 240 dieser Arbeit, sowie Poincaré, Acta Mathematica Bd. I, 1882, pag. 18.
Schwarz, 1873, Ges. Abh. v. pag. 247, sowie pag. 220 dieser Arbeit.
Klein, Ann. 40, pag. 138 (1892)
Klein, Ann. 37 (1890), pag. 573 ff. Die dort gegebenen Resultate werden sich z. B. leicht auf den Fall der geradlinig begrenzten Dreiecke auf Grund unserer Betrachtungen auf pag. 218 ff. specialisiren lassen.
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Schilling, F. Beiträge zur geometrischen Theorie der Schwarz'schens-Function. Math. Ann. 44, 161–260 (1894). https://doi.org/10.1007/BF01446413
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