Abstract
This paper treats Bernard Bolzano's (1781–1848) investigations into a fundamental problem of geometry: the problem of adequately defining the concepts of line (or curve), surface, solid, and continuum.
Bolzano's interest in this problem spanned most of his creative lifetime. In this paper a full discussion is given of the philosophical and mathematical motivation of Bolzano's problem as well as his two solutions to the problem. Bolzano's work on this part of geometry is relevant to the history of modern mathematics, because it forms a prelude to the more recent development of topological dimension theory.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
Bibliography
Allgemeine Literatur-Zeitung (1819) Review of Bolzano (1817). 3 (1819), cols. 180–184.
Baumgarten, Alexander Gottlieb (1779) Metaphysica. Editio VII. Hala Magdeburgica. (Other editions: I:1739; II:1743; III:1749; German trans. Halle: 1783, the edition which Bolzano read.)
Berg, Jan (1962) Bolzano's Logic. Stockholm, Göteborg, Uppsala.
Bolzano, Bernard (1804) Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie. Prag.
Bolzano, Bernard (1810) Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung. Prag.
Bolzano, Bernard (1817) Die drey Probleme der Rectification, der Complanation und der Cubirung, ohne Betrachtung des unendlich Kleinen, ohne die Annahmen des Archimedes, und ohne irgend eine nicht streng erweisliche Voraussetzung gelöst; zugleich als Probe einer gänzlichen Umstaltung der Raumwissenschaft, allen Mathematikern zur Prüfung vorgelegt. Leipzig. (Cf. Berg (1962:27–28).)
Bolzano, Bernard (1817a) Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Prag.
Bolzano, Bernard (1836) Lebensbeschreibung des Dr. B. Bolzano mit einigen seiner ungedruckten Aufsätze. Sulzbach.
Bolzano, Bernard (1837) Wissenschaftslehre. Versuch einer ausführlichen und grösstentheils neuen Darstellung der Logik mit steter Rücksicht auf deren bisherigen Bearbeiter. 4 vols. Sulzbach. (Reprinted: Wien: 1882; Leipzig: 1929–31.)
(1845) ‘Versuch einer objectiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes’. Abhandlungen der Königlichen böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (5) 3 (1845), 201–205. (Written by 1815.)
Bolzano, Bernard (1851) Paradoxien des Unendlichen. Ed. F. Přihonský. Leipzig.
Bolzano, Bernard (1921) Reprint of Bolzano (1851). Ed. A. Höfler and notes by H. Hahn. Leipzig.
Bolzano, Bernard (1926) Reprint of Bolzano (1810). Ed. H. Fels. Paderborn.
Bolzano, Bernard (1948) Spisy Bernarda Bolzana. Vol. 5: Geometrické Práce. Ed. J. Vojtěch. Praha. This contains the following:
Bolzano, Bernard (1948a) Reprint of Bolzano (1804): (1948: 5–49).
Bolzano, Bernard (1948b) Reprint of Bolzano (1845): (1948: 51–65).
Bolzano, Bernard (1948c) Reprint of Bolzano (1817): (1948: 67–138).
Bolzano, Bernard (1948d) ‘Uiber Haltung, Richtung, Krümmung und Schnörkelung bei Linien sowohl als Flächen sammt einigen verwandten Begriffen’. (1948: 139–183). (Not previously published. Written 1843–44.)
Bolzano, Bernard (1956) ‘Der Böhmische Vormärz in Briefen B. Bolzanos an F. Přihonský, 1824–1848’. Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Veröffentlichungen des Instituts für Slawistik. 11. Berlin.
Bolzano, Bernard (1967) ‘Anti-Euklid’. Ed. K. Večerka. Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum 11 (1967), 203–216. (Incomplete edition. An edition by B. van Rootselaar is forth-coming in Bernard Bolzano-Gesamtausgabe II. A, 11).
Bolzano, Bernard (1972) Theory of Science. Ed. and trans. R. George. Excepts from Bolzano (1837). Oxford.
Bolzano, Bernard (1972a) Bernard Bolzano-Gesamtausgabe. Einleitung, 2, I: Bolzano-Bibliographie und Editionsprinzipien der Gesamtausgabe. Erste Abteilung. Ed. J. Berg et al. Stuttgart.
Bolzano, Bernard (0000a) ‘Versuch einer Erklärung der Begriffe von Linie, Fläche und Körper’. Unpublished manuscript in Handschriftensammlung der Österreichischen Nationalbibliothek, Wien. Series nova, 3459:3.c. (Cf. Bolzano (1972a:39). An edition by J. Berg is forthcoming in Bernard Bolzano-Gesamtausgabe II. A, 11.)
Bolzano, Bernard (0000b) ‘Geometrische Begriffe, die Jeder kennt und nicht kennt. Versuch einer Erhebung derselben ins deutliche Bewusstseyn’. Unpublished manuscript in Handschriftensammlung der Österreichischen Nationalbibliothek, Wien. Series nova, 3459:3.b. (Cf. Bolzano (1972a:39), Berg (1962:29–30). An edition by J. Berg is forthcoming in Bernard Bolzano-Gesamtausgabe II. A. 11.)
Bolzano, Bernard (0000c) ‘Mathematische Gespräche’. Unpublished manuscript in Handschriftensammlung der Österreichischen Nationalbibliothek, Wien. Series nova, 3459:1.d. (Cf. Bolzano (1972a:38). An edition by J. Berg is forthcoming in Bernard Bolzano-Gesamtausgabe II. A, 11. This is a very short, incomplete dialogue dealing with philosophical aspects of Bolzano's definitions of line, surface, and solid. There is nothing of mathematical substance in it. It was probably written about the same time as (0000a).)
(1883) ‘Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. IV’. Mathematische Annalen 21 (1883), 51–58.
(1883a) ‘Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. V’. Mathematische Annalen 21 (1883) 545–591. - Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig.
Cantor, Georg (1932) Gesammelte Abhandlungen. Berlin. (Reprinted: Hildesheim: 1962. Contains Cantor (1883), (1883a).)
Cauchy, Augustin Louis (1826) Leçons sur les Applications du calcul infinitésimal à la Géométrie. Paris.=Œuvres (IIe Serie), 5. Paris. 1903.
Euclid/Heath, Thomas L. (1926) The Thirteen Books of Euclid's Elements. Second Edition. 3 vols. Cambridge. (Reprinted by Dover: New York: 1956.)
(1966) ‘Bernard Bolzano and the foundations of geometry’. Acta historiae rerum naturalium necnon technicarum Special issue 2 (1966), 75–104.
(1964) ‘Kästner, Forerunner of Gauss, Pasch, Hilbert’. Actes du dixième congrès international d'Histoire des Sciences. Paris. Vol. 2, pp. 659–661.
(1973) ‘Abraham Gotthelf Kaestner’. Dictionary of Scientific Biography. Ed. C. C. Gillispie. New York. Vol. 7, pp. 206–7.
Heath, Thomas L. (1949) Mathematics in Aristotle. Oxford.
Hornich, H. (1961) ‘Über eine Handschrift aus dem Nachlass von B. Bolzano’. Anzeiger der Österreichischen Akademie der Wissenschaften. Math.-Naturwiss. Kl. Jahrgang 1961 (2) (1961), 17–18.
Hurewicz, Witold, & Wallman, Henry (1948) Dimension Theory. Revised edition. Princeton.
K., M. L.(1757) ‘Von der Zusammensetzung der mathematischen Linie aus mathematischen Puncten’. Hamburgisches Magazin 20 (1757), 131–137.
(1749) ‘Gedanken zur Erläuterung des geometrischen Begriffs von dem Ursprunge einer Linie, aus der Bewegung eines Punktes’. Hamburgisches Magazin 4 (1749), 46–52.
(1758) ‘Anmerkungen über die Zusammensetzung der mathematischen Linie aus Puncten’. Hamburgisches Magazin 21 (1758), 90–97. (A reply to M. L. K. (1757).)
Kästner, Abraham Gotthelf (1782) ‘Occam hat Punkt, Linie und Fläche sehr richtig erklärt’. Leipziger Magazin zur Naturkunde, Mathematik und Oekonomie (1782), 224–226.
Kästner, Abraham Gotthelf (1800) Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie, ebenen und sphärischen Trigonometrie und Perspectiv. Der mathematische Anfangsgründe, I. Th., erste Abth. VI edition. Göttingen. (Other editions: I:1758; II:1763; III:1774; IV:1786; V:1792. Actually Bolzano used the Vth ed., but eds. IV, V, and VI do not differ very much.)
(1975) ‘Bolzano's Ideal of Algebraic Analysis’. Studies in History and Philosophy of Science 6 (3) (1975), 229–269.
Lagrange, Joseph Louis (1797) Théorie des fonctions analytiques. Paris.
(1962) ‘Infinite Regress and the Foundations of Mathematics’. Aristotelian Society Supplementary Volume 39 (1962), 155–184.
Langsdorf, Karl Christian (1802) Anfangsgründe der reinen Elementar- und höheren Mathematik auf Revision der bisherigen Principien gegründet. Erlangen.
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1969) Philosophical Papers and Letters. Ed. and trans. E. Loemker. Second Edition. Dordrecht.
Leipziger Literatur-Zeitung (1822) Review of Bolzano (1817). (1822), 1393–1403.
(1925) ‘Grundzüge einer Theorie der Kurven’. Mathematische Annalen 95 (1925), 277–306.
Menger, Karl (1932) Kurventheorie. Leipzig. (Second edition: New York, 1967.)
Morscher, Edgar (1973) Das logische An-sich bei Bernard Bolzano. Salzburg.
(1835) ‘De la courbure et de la flexion d'une courbe à double courbure’. Journal de l'École Royale Polytechnique (24e cahier) 15 (1835), 61–91.
(1845) ‘Mémoire sur les lignes courbes non planes’. Journal de l'École Royale Polytechnique (30e cahier) 18 (1845), 1–76.
Schultz, Johann (1789) Prüfung der Kantischen Critik der reinen Vernunft. Erster Theil. Königsberg.
(1881) ‘B. Bolzano's Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung’. Mathematische Annalen 18 (1881), 255–279.
Winter, Eduard (1933) Bernard Bolzano und sein Kreis. Leipzig.
Winter, Eduard (1949) ‘Leben und Geistige Entwicklung des Sozialethikers und Mathematikers Bernard Bolzano 1781–1848’. Hallische Monographien. 14. Halle.
Winter, Eduard (1969) Bernard Bolzano, Ein Lebensbild, Bernard Bolzano-Gesamtausgabe. Einleitung, 1. Stuttgart. (A revised version of Winter (1933).)
Wolff, Christian Friedrich von (1742) Elementa Matheseos Universae. Editio IX. Hala Magdeburgica. Vol. 1.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Communicated by H. Freudenthal
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Johnson, D.M. Prelude to dimension theory: The geometrical investigations of Bernard Bolzano. Arch. Hist. Exact Sci. 17, 261–295 (1977). https://doi.org/10.1007/BF00499625
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF00499625