Zusammenfassung
Auch für hyperbolische Differentialgleichungen bei n Veränderlichen mit n > 2 wird sich als entscheidend für das tiefere Verständnis der Charakteristikenbegriff erweisen, obwohl für n > 2 eine allgemeine Integrationstheorie mit seiner Hilfe nicht mehr entwickelt werden kann. Im vorliegenden Kapitel werden wir zunächst die Charakteristikentheorie behandeln ; dabei werden unsere Überlegungen weitgehend denen des Kap. V parallel laufen. Ähnlich wie bei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung tritt jedoch als neues Moment auf, daß wir zwischen charakteristischen n - 1 dimensionalen Mannigfaltigkeiten und charakteristischen Kurven, auch Bicharakteristiken oder Strahlen genannt, unterscheiden müssen1. Im zweiten Teil des Kapitels werden wir dann näher auf die Integration von Differentialgleichungsproblemen, insbesondere linearen Problemen mit konstanten Koeffizienten eingehen.
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Referenzen
Man vergleiche zur Theorie der Charakteristiken und der Wellen noch Hadamard: Propagation des ondes. Paris 1903. Levi Civita: Charatteristiche dei Sistemi Differenziali e Propagazione ondosa. Bologna 1931.
Siehe auch Thomas and Titt: Ann. of Math. Bd. 34 (1933) S. 1–80.
Wir können z. B. die Lösungen dieser partiellen Differentialgleichung nach Kap. II durch Vorgabe von Anfangswerten bestimmen, die ihrerseits von einem Parameter c abhängen.
Wir nehmen an, daß auf φ = 0 nicht alle Ableitungen von φ zugleich verschwinden.
Vgl. auch Anhang, § 4.
Eine charakteristische Fläche kann , braucht jedoch nicht notwendig Unstetigkeiten der Lösung u zu enthalten und die Enveloppenkonstruktion kann ohne Widerspruch zu unserer Theorie auch zu Flächenstücken führen, auf denen die Welle zur Zeit nicht unstetig ist.
Vgl. Kap. II, § 5.
Die Methode dieses Paragraphen ist Zaremba Zuzuschreiben: Rendic. Acc. Lincei, Ser. 5, Bd. 14 (1915) S. 904.
Sie ist später wiedergefunden und erweitert worden von Rubinovicz: Monatsh. f. Math. u. Phys. Bd. 30 (1920) S. 65 ff. und Phys. Ztschr. Bd. 27 (1926) S. 707 ff. ;
sowie Friedrichs u. Lewy: Math. Ann. Bd. 98 (1928) S. 192 ff.
Vgl. Hadamard loc. cit. und die dort angegebene Literatur, insbesondere auch die Arbeiten von Volterra: Acta Math. Bd. 18, und Tedone Annal. di Mat. 3. Serie, Bd. 1, S. 1, wo zuerst explizite Darstellungen angegeben wurden.
Vgl. Courant: Differential- und Integralrechnung II, 2. Aufl., S. 245ff.
Vgl. Courant, Differential- und Integralrechnung II, a. a. O. Nach Couranthilbert I, S. 418 ergibt sich daher beiläufig
Vgl. wieder Hadamard: Lectures on Cauchy’s Problem, New Haven 1923 und die erweiterte französische Ausgabe: Problème de CAUCHY. Paris 1932. Siehe auch Kap. III, § 6, 5. Wie weit sie für die Lösbarkeit des Anfangswertproblems unabhängig von unserer Darstellungsformel wirklich notwendig ist, bleibe hier dahingestellt. Vgl. hierzu Anhang § 4.
Von Volterra anscheinend zuerst klar erkannt (vgl. Fußnote S. 386) .
Vgl. hierzu die Überlegungen von Kapitel IV, § 1, deren Übertragung auf mehr unabhängige Variable selbstverständlich ist.
Vgl. hierzu auch Duhamels Integral, Kap. III, Anh. § 1, 3.
Vgl. zur Verwendung dieser Mittelbildungen und zu verschiedenen Betrachtungen dieses und der beiden folgenden Paragraphen die Arbeiten von Fritz John: Math. Ann. Bd. 109 (1934) S. 488f. und Bd. 111 (1935) S. 542f.
Vgl. Leifur Asgeirsson: Göttinger Dissertation (1932) . Math. Ann. 1Bd. 113 (1936) S. 321ff.
Vgl. jedoch für m=3 z. B. Felix Klein. Höhere Geometrie, 2. Aufl. Berlin 1926; hier erscheint diese Gruppe als Gruppe der Transformationen der Gesamtheit der Graden des dreidimensionalen Raumes in sich. Dieser Zusammenhang findet seinen Ausdruck in einer weiteren Anwendung des Asgeirssonschen Mittelwertsatzes, die F. JoHN für m = 2 und die ultrahyperbolische Gleichung ux1 y2 = ux2 y1 gemacht hat. (Vgl. eine demnächst erscheinende Arbeit in Bull. Amer. math. Soc.) Wir deuten x x2, y1, y2 als Linienkoordinaten der Graden eines dreidimensionalen ξ, η , ζ-Raumes im Sinne der Liniengeometrie. Dann ist die allgemeinste im ganzen Raum definierte und gewissen Regularitätsvoraussetzungen im Unendlichen genügende Lösung dieser Differentialgleichung gegeben durch die Integrale einer willkürlichen Funktion von , η, über die Graden des Raumes. Der Asgeirssonsche Mittelwertsatz kann hier unter Bezugnahme auf die beiden Gradenscharen eines beliebigen einschaligen Hyperboloides des ξ, η, ζ-Raumes folgendermaßen ausgesprochen werden: Das Integral jeder Lösung u über die Graden der einen Schar ist gleich dem Integral über die Graden der anderen Schar.
Vgl. hierzu F. John: Math. Ann. Bd. 111, S. 542f., wo für die Gleichung von Darboux mit einer anderen Methode noch weitergehende Ergebnisse erzielt werden.
Für den Grenzfall des Ausstrahlungsproblemes, wo die Methode eine etwas einfachere Form annimmt, siehe auch § 10.
Vgl. wieder Le Problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques. Paris 1932, sowie die englische Originalausgabe.
Vgl. Bd. I, Kap. VII, insbesondere S. 432.
Auf die Brauchbarkeit des logarithmischen Anteils für ungerade n hat Hadamard hingewiesen. Siehe auch Friedrichs: Gött. Nachr. 1927, S. 172ff.
Vgl. G. Herglotz: Ber. sächs. Akad. 1926, sowie eine Vorlesungsausarbeitung über Mechanik der Continua.
Vgl. Bull. Soc. Math. France Bd. 31, S. 208f. und Bd. 52, S. 241 f. Übrigens gelten ähnliche Bemerkungen auch für das Randwertproblem.
Vgl. Friedrichs u. Lewy: Gött. Nachr. 1932, S. 135 f.
Vgl. z. B. auch eine demnächst erscheinende Abhandlung von K. Friedrichs zur Anwendung der allgemeinen Operatorentheorie auf Differentialoperatoren.
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Courant, R., Hilbert, D. (1968). Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. In: Methoden der Mathematischen Physik II. Heidelberger Taschenbücher, vol 31. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00844-7_6
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