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Si trova questa costruzione raccolta in modo sistematico nelleVorlesungen über die neuere Geometrie delPasch.
Ricordo in particolar modo ilSchur, loHilbert, ilSchcenflies, loHessenberg : in connessione con queste ricerche fondamentali, molte altre di altri autori si ebbero in questi ultimi anni, che sarebbe qui lungo il ricordare. Io stesso me ne occupai sotto più punti di vista nella Memoria:Fondamenti della metrica projettiva (Memorie della R. Accad. delle Scienze di Torino, 1904), che sarà ancora ricordata in seguito.
Cfr.Hilbert,Grundlagen der Geometrie (2.te Auflage, Leipzig, Teubner, 1903), pag. 66–67.
Si può pure definire la collineazione fra due spazi (sovrapposti necessariamente se si pensa di restare in un determinato spazio di tre dimensioni); la nozione di projezione e della conseguente corrispondenza prospettica va allora completata colla condizione di collinearità (cioè che ogni retta si muta in una retta) che è allora indipendente da quella di prospettività. Cfr.Pasch, l. c. Questa definizione della projettività si attribuisce di solito alThomae che la espose nella suaGeometrie der Lage. Ma prima della pubblicazione di questo, nel 1873, anche ilCremona aveva già adottata questa definizione nelle sueLezioni, e la troviamo riprodotta nella suaGeometria projettiva, pubblicata precisamente nello stesso anno 1873 di quella delThomae.
Invero fu dimostrato dalPasch (l. c.) e per via aritmetica dalloHilbert (l. c., pag. 68 e 71) che il solo postulato di continuità che occorra per stabilire il teorema diPascal è quello d'Archimede, e che si possono dopo ciò dimostrare tutte le proposizioni grafiche senza più far intervenire considerazioni di continuità: ma ilPasch finisce tali considerazioni osservando (pag. 125–126) che al postulato d'Archimede (di apparenza metrica) si può sostituirne un'altro (forma projettiva del postulato diDedekind — si possono a tal riguardo consultare leLezioni di Geometria projettiva delBerzolari, Torino, 1894–95, o dell'Enriques, Bologna, 1898), col quale si colma la lacuna indicata dalKlein (Math. Ann., 7, pag. 532) nella dimostrazione diStaudt. Ora, se il nuovo postulato (quando sia unito al postulato dell'ordine) include quello d'Archimede, l'inverso non avviene, onde esso è esorbitante e non omogeneo al sistema delPasch. Questa insufficiente distinzione nello scritto delPasch fu causa, certo, che in scritti posteriori in cui non si aveva di mira la critica di questo punto particolare, si affermasse senz'altro una equivalenza che non sussiste. Così ilPieri,Circa il teorema fondamentale di Staudt, ecc. Atti della R. Accad. di Torino, 1904; Introduzione.
Cfr.Geometrie der Lage, pag. 50. IlPieri ha rilevato che questa definizione in quanto chiede che il fatto si verifichi perogni quaterna armonica, contiene del sovrabbondante (Cfr.Sulla definizione Staudtiana dell'omografia fra forme semplici reali. Periodico di Matematica, Vol. 21, 1905).
Per es., è ben noto che al postulato diDedekind, che involge l'esistenza di punti aventi per ascissa ogni numero irrazionale, basterà sostituirne un altro da cui derivi, sotto convenienti condizioni, l'esistenza di punti corrispondenti solo a radici di equazioni risolubili con una catena di equazioni quadratiche. Così opera ilPieri (I principii della geometria di posizione, ecc. Mem. della R. Acc. delle Scienze di Torino, 1898, e ll. cc.) e così risulta già dalle ricerche delDarboux (Sur la géométrie projective, Math. Ann. 17, 1880, pag. 55 e seg.). Da altro punto di vista, si può cercare di sostituire al post. diDedekind un altro relativo alla natura dell'aggregato degli elementi di una forma di prima specie. Per vero, in seguito ad una nota osservazione delDarboux l. c. la questione assume la forma datale dalSegre (Intermédiaire des mathématiciens, t. I, 1894, pag. 182): « quali possono essere in un campo in cui non si verifichi o l'ordinamento lineare degli elementi, ovvero il postulato diDedekind (o una parte conveniente di esso, come sopra si disse) le soluzioni del sistema d'equazioni funzionali ϕ(x+y)=ϕx)+y), ϕ(x 2)=|ϕ(x)|2? » È facile vedere che la soluzione non è sempre la sola identità come vorrebbe il teorema diStaudt, quando sia numerabile, od almeno ben ordinabile l'aggregato dei punti della retta (Cfr.Veblen andBussey,Finite projective geometries. Transact. of the Amer. Math. Soc., 1906. —B. Levi,Geometrie projettive di congruenza e geometrie projettive finite. Trans. of the Amer. Math. Soc., 1907. —Volpi,Sopra le funzioni che godono della proprietà distributiva. Giornale di Battaglini, Vol. 35, 1897. —Hamel,Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Functionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y). Math. Ann., 60, 1905). [La questione proposta dal prof.Segre ha richiamato recentemente l'attenzione del signorLebesgue il quale ha dimostrato (Sur les transformations ponctuelles etc., Atti della R. Acc. di Torino, Marzo 1907) che l'identità è la sola funzione ϕ definibile analiticamente. Mi si permetta di ricordare che in una Nota:Sulla teoria delle funzioni e degli insiemi (Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, Serie 5, Vol. IX, 2.e. sem., 1900) io annunciavo una simile proposizione come conseguenza di una proposizione (prop. V; pag. 76) che non differisce essenzialmente dalle conseguenze della definibilità analitica su cui si fonda ilLebesgue. Ma poichè in quello studio io attribuivo molto maggior generalità alla definizione delle funzioni, in una più completa redazione insorsero difficoltà circa la dipendenza di quella proposizione V dai procedimenti di definizione delle funzioni, onde quella Nota non ebbe per allora altro seguito. Ritengo perciò doveroso il riconoscere al sig.Lebesgue la priorità del nuovo enunciato della proposizione e della pubblicazione d'una dimostrazione della medesima] (Ottobre 1907).
Così in una geometria projettiva finitaP G (p k), quali furono studiate dai signoriVeblen eBussey (cfr. la nota precedente) una collineazione in un piano di coordinate omogeneex 1,x 2,x 3 è definita dalle formole (l. c., p. 252)\(\frac{{x'_i }}{{x'_s }} = \frac{{\Sigma _j a_{ji} x_j^{p^k } }}{{\Sigma _j a_{is} x_j^{p^k } }}\left( \begin{gathered} i = 1,2,j = 1,2,3 \hfill \\ 0 \leqslant k< n \hfill \\ \end{gathered} \right).\) (V. pureVeblen,Collineations in a finite projective Geometry, Trans. of the Amer. Math. Soc., 1907, pag. 366). Se allora si fissa che a 4 dati punti di coordinate numeri interi (per cui\(x_j^{p^k } = x_j \) (modp)) debbano corrispondere 4 punti di coordinate pure numeri interi, lea ji risultano pure numeri interi indipendenti dalla scelta dik, e, attribuendo ak glin valori di cui è capace, si ottengonon diverse collineazioni (secondo la definizione staudtiana) che stabiliscono la data corrispondenza fra le due quaterne.
V. Pasch, l. c., pag. 140 e segg.
Cfr.Hilbert, l. c., pag. 64.
Al modo medesimo che, in conseguenza del postulato d'Archimede e della definizione Euclidea delle proporzioni, si stabilisce la commutabilità dei medi in una proporzione, e quindi il teorema diPappo.
Così nella dimostrazione delloSchur (Math. Ann., 51) in cui si fa uso dello spazio, ma non si fanno limitazioni circa l'ipotesi euclidea, si ricorre alla considerazione di simmetrie rispetto a piani e quindi, implicitamente, alla considerazione della polarità assoluta. In altre dimostrazioni, in cui invece si evita la considerazione dello spazio, e si deve perciò distinguere quale delle tre ipotesi sulle rette parallele si voglia ammettere, l'uso di polarità metriche compare diversamente : così nella dimostrazione delloHilbert (Math. Ann., 57 eGrundlagen der Geometrie, II Auflage, Anhang III, pag. 107) relativa al piano diLobacewsky e in quella delloHessenberg (Math. Ann., 61) relativa alla sfera (piano diRiemann) compie ancora funzione essenziale la polarità assoluta (che in queste geometrie non è degenere) e nella dimostrazione delloHilbert (Grundlagen der Geometrie, § 14. — Cfr. pureB. Levi,Supplemento al periodico di Matematica, 1903.Mollerup,Math. Ann., 56) relativa al piano euclideo hanno parte essenziale le proprietà del cerchio.
Memorie della R. Accad. delle Sc. di Torino, 1904.
DellaMemoria, pag. 339 del volume.
Cfr.Hilbert,Grundlagen der Geometrie, l. c., §§ 24–29 e la mia Memoria citata, pag. 34 e segg. (314 e segg. del volume): particolarmente quest'ultimo luogo per le avvertenze da usarsi nel calcolo con questi numeri, per cui si suppone valgano le proprietà fondamentali delle operazioni con numeri razionali, salvo la proprietà commutativa del prodotto.
Cfr.Hilbert, l. c., pag. 54.
Cfr.Hilbert, l. c., pag. 54.
Ogni sistema di numeri desarguiani contiene come parte il sistema dei razionali: in ogni prodotto i fattori razionali sono commutabili con tutti gli altri (Cfr.Hilbert eB. Levi, ll. cc.).
Si ricordi che in ogni geometria desarguiana il teorema diPappo è equivalente alla proprietà commutativa del prodotto (Cfr.Hilbert, l. c., Kap. VI, §§ 31–34).
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Levi, B. Il teorema di Desargues, il teorema di Pappo e l'esistenza d'una reciprocità o d'una polarità. Annali di Matematica, Serie III 14, 171–186 (1908). https://doi.org/10.1007/BF02420190
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