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References
Sur la déformation des quadriques de révolution (23 janvier 1899, pag. 232).
Vedi le mie Note neiRendiconti della R. Accademia dei Lincei: sedute del 19 febbraio, 5 marzo, 23 aprile e 21 maggio 1899.
Vedi specialmente la Nota: 6 juin 1898, pag. 1617.
Vedi pag. 257 delle mieLezioni di geometria differenziale (Pisa-Spörri, 1894). Nei frequenti richiami del testo al mio libro lo citero semplicemente con:Lezioni.
Lezioni, Cap. IX.
Lezioni, pag. 447.
Qui abbandoniamo affatto il caso del paraboloide di rotazione e delle superficie minime. Del resto anche in questo caso si trovano risultati affatto analoghi e si giunge ad una trasformazione delle superficie d'area minima che si collega alle ricerche esposte dal sig.Thybaut negliAnnales de l'École Normale (IIIème série, tom. XIV, 1897, pag. 45). Ma l'includere le relative ricerche nel presente lavoro mi avrebbe troppo allontanato dal soggetto principale. Di esse tratterò in una Nota a parte.
Quasi contemporaneamente a queste mie ricerche sull'argomento, e dopo che le mie due prime Note sulle nuove trasformazioni erano già pubblicate, comparvero neiComptes Rendus de l'Académie (Séances du 27 mars, 4, 17 et 24 avril 1899) alcune Note del sig.Darboux, ove l'illustre geometra dimostra i teoremi diGuichard ed altri più generali ed, occupandosi delle trasformazioni delle superficie a curvatura costante, giunge per altra via a risultati equivalenti a quelli del presente Cap. V.
QuestiAnnali, tom. XIII, serie 2.a
Lezioni, Cap. IV.
Lezioni, Cap. X.
Lezioni, pag. 241.
Lezioni, pag. 256.
Lezioni, ibid.
Lezioni, pag. 121.
V. Darboux,Leçons, T. II, p. 286.
Lezioni, pag. 252 formola (C).
Lezioni, pag. 235.
Lezioni, pag. 446.
Lezioni pag. 145.
Lezioni, pag. 65.
Cfr.Lezioni, pag. 440.
Sitzungsberichte der Akademie zu München, 1884. Heft II.
Procediamo nel testo per via puramente analitica. Ma non è fuor di luogo il far notare come a questa trasformazione delle equazioni fondamentali si è condotti da considerazioni geometriche tratte dalla teoria dei sistemi ciclici. Se consideriamo due superficieS,\(\bar S\) a curvatura costante (positiva o negativa) trasformate l'una dell'altra secondo una delle nostre trasformazioni, le normali in due loro punti corrispondentiM,\(\bar M\) si incontrano in un puntoM 0, equidistante daM,\(\bar M\). Possiamo quindi descrivere un circoloc che incontra ortogonalmenteS,\(\bar S\) inM,\(\bar M\) rispettivamente e poichè sopraS,\(\bar S\) si corrispondono le linee di curvatura, il sistema ∞2 di circolic è un sistema ciclico. Applicando le formole generali relative a questi sistemi (Lezioni, Cap. XIII) si arriva precisamente alla trasformazione di formole data nel testo.
VediLezioni, pag. 525, formole (D).
Lezioni, pag. 446.
Sur la déformation des surfaces (Mémoire couronné par l'Académie de Paris). —Acta Mathem., tom. 20. Vedi ancheDarboux,Leçons IV, pag. 308 e segg.
Lezioni, pag. 137, formule (34).
Queste medesime formole si possono stabilire direttamente dalle (12) facendo uso delle formole in coordinate tangenziali: ρ1+ρ2=Δ2 W+2W ρ1 ρ2=Δ22 W+WΔ2 W+W 2, date a pag. 137–138 dalleLezioni.
Il teorema in questione fu da me trovato nel 1892 (Rendiconti dei Lincei, Serie 5.a, Vol. I, 2.o sem.) e trovasi ampiamente discusso nei §§ 257–260 delleLezioni.
Lezioni, pag. 406.
Il suo elemento lineare è infatti (Lezioni, pag. 243):d s 20 = coth4 u d u 2+d v 2 / senh2 u, che, postor=1 / senhu, può scriversi:d s 20 =(1+1 /r 2)d r 2+r 2 d v 2.
Anche qui, come nel caso delle superficie pseudosferiche, è da osservarsi che la più generale trasformazione ottenuta col supporre σ1 complessa qualunque si compone di una nostra particolare preceduta e seguita da due trasformazioni diLie-Bonnet inversa l'una dell'altra. (Cf. le osservazioni in fondo al § 28.)
Intendiamo che non siano nemmeno esclusi i valoric = -1,a = 1 delle costanti che figurano nelle equazioni di trasformazione (I), (III) § 12 e (20), (22) § 17, ciò che significa (Cf. § 20 in fondo) che della superficie inizialeS si suppongono note le linee geodetiche.
Lezioni, pag. 165.
Vedi la mia Memoria nel Tom. XIII, serie 2.a di questiAnnali, ovveroLezioni, Cap. XX.
Lezioni, pag. 530.
Lezioni, pag. 500.
Cf.Lezioni, pag. 504 s. s.
Lezioni, pag. 510.
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Bianchi, L. Sulla teoria delle trasformazioni delle superficie a curvatura costante. Annali di Matematica, Serie III 3, 185–298 (1899). https://doi.org/10.1007/BF02419245
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