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Journ. f. Math., Bd. I (1826), p. 314, Lehrsatz IV=Oeuvres, Éd.Sylow-Lie, T. I, p. 223. Ich habe schon bei früherer Gelegenheit (Münch. Sitz.-Ber., Bd. 27 [1897], p. 344) hervorgehoben, dass der betreffendeAbel'sche Beweis, in Wahrheit einfacher ist und dasWesen der Sache deutlicher hervortreten lässt, als der aufLiouville's Veranlassung vonDirichlet (Journ. de Math. (2), T. 7 [1863], p. 253) mitgetheilte beweis.Abel beweist nämlich nicht nur, wieDirichlet, die Existenz der Beziehung (I), also dieStetigkeit der Reihensumme für ρ≤I, sondern geradezu diegleichmässige Convergenz der Reihe für ρ≤I.
A. a. o. Journ. f. Math., Bd. I (1826), p. 286=Oeuvres, T. I, p. 618.
BeiAbel stehtx statt ρ. (Ich schreibe ρ, um die nöthige Übereinstimmung mit den sonst hier gewählten Bezeichungen zu erzielen.)
Oeuvres, T. 2, p. 203.
Münch. Sitz.-Ber., Bd. 30 (1900), p. 39.
Eine andere aus derAbel'schen Fragestellung erwachsende und wohl sicherlich auch schon vonAbel (etwa im Anschlusse an das viel citirte, klassische Beispiel:\(\mathop {\lim }\limits_{\rho = 1} \sum\limits_0^\infty v ( - - I)^v \rho ^v = \frac{I}{2})\) ausdrücklich dabei in's Auge gefasste Aufgabe ist die folgende: «Wann existirt im Falleuneigentlicher Divergenz von Φd v eine bestimmte Zahl \(\mathop {\lim }\limits_{\rho = 1} f(\rho )\) und wie kann dieselbe als Function derd v dargestellt oder zum mindesten aus dend v numerisch berechnet werden?» Theilweise Lösungen dieser Aufgabe geben der bekannte Satz vonFrobenius (Journ. f. Math. Bd. 89 [1880], p. 262) und dessen Verallgemeinerungen durchHoelder (Math. Ann. Bd. 20 [1882], p. 535), sowieBorel's «limite généralisée» (Journ. de Math. (4), T. 12 [1896], p. 103).
Zeitschr. f. Math. u. Phys., Jahrg. 20 [1875], p. 370; desgl. Jahrg. 29 (1884), p. 127.
Picard Traité d'Analyse T. 2 (1893), p. 73.
Münch. Sitz.-Ber., Bd. 27 (1897), p. 347.
Vgl. Münch. Sitz.-Ber., Bd. 31 (1901), p. 514.
Man kann diese Beschränkung ohne weiteres fallen lassen, wenn man statt der Bedingung (A) die folgende einführt:\(\frac{{\left| {\sum\limits_0^\infty v d_v x'^v } \right|}}{{\sum\limits_0^\infty v \left| {d_v x'^v } \right|}} \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel>\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} \alpha > o\) (vgl.E. Lasker,Über Reihen auf der Convergenzgrenze, Lond. Phil. Transactions, Vol. 196 [1901], p. 433). Übrigens genügt es selbstverständlich zur Ableitung der im Texte angegebenen Resultate, wenn die Bedingungd v>o erst von einer bestimmten Stellev≥n anfangend erfüllt ist, da die Beschaffenheit einer beliebigen endlichen Anzahl von Anfangsgliedern bei der fraglichen Art von Betrachtungen ohne Belang ist. (Vgl. Nr. 6.)
Stolz, Math. Ann., Bd. 14 (1879), p. 232. Vorl. über allgem. Arithm. Bd. I., p. 173.
Eine Relation von der Form:\(A_n \cong g. B_n \) bedeutet:\(\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } \frac{{A_n }}{{B_n }} = g.\) (Vergl. Encykl. der Math. Wiss. Bd. I, p. 75, Gl. (13)).
Comptes rendus, T. 87 (1878), p. 689. Vgl. im übrigen: Münch. Sitz.-Ber., Bd. 31 (1901), p. 522.
Diese Bedingung ist gleichfalls in der ursprünglichen Bedingung (II) enthalten. Denn darnach hätte man, zum mindesten von einem bestimmten ν ab:\(\begin{array}{l} \frac{{\lambda _v }}{{\lambda _{v - 1} }}< \frac{{v + I}}{v} \\< \frac{v}{{v - I}}, \\ \end{array}\) also in der That:\(\frac{{\lambda _v }}{v}< \frac{{\lambda _{v - I} }}{{v - I}}.\)
Nach einem vonG. Darboux (Journ. de Mathém. (2), T. 2 [1876], p. 293) undP. Mansion (Ann. de la soc. scient. de Bruxelles, 1885–86, p. 36) bewiesenen Satze hat man für einedifferenzirbare Functionf(x) dercomplexen Veränderlichenx:\(f(x) = f(o) + k.x.f'(\vartheta x).\) wo:\(\left| k \right|< I, o< \vartheta< I.\) Hiernach ergiebt sich:\(\begin{array}{l} (I - 2)^v = I - k.vz.(I - \vartheta z)^{v - I} \\ = I - k.vz, \\ \end{array}\) wo:\(\begin{array}{l} \left| {k_v } \right| = \left| k \right|.\left| {I - \vartheta z} \right|^v \\< I, \\ \end{array}\) wenn:\(\left| {I - \vartheta z} \right| \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} I,\) also sicher, wenn:\(\left| {I - z} \right| \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} I.\)
Fürreelle x′ beiE. Lasker, p. 453. Die dort benützte Methodeversagt fürcomplexe x′.
Fürq>I, wäre ja\(\sum {\alpha _v } \) convergent.
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Pringsheim, A. Über Den Divergenz-Charakter Gewisser Potenzreihen an Der Convergenzgrenze. Acta Math. 28, 1–30 (1904). https://doi.org/10.1007/BF02418380
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418380