Sunto
Premesse alcune considerazioni generali sulla teoria aritmetica delle funzioni e delle varietà quasi abeliane, destinate a venir riprese ed esposte compiutamente in altri lavori, si approfondisce lo studio da un punto di vista strettamente aritmetico delle relazioni generalizzate diHurwitz relative ad una matrice quasi abeliana ω, determinando che in una simile relazione, che è del tipoΛω=ωI (con laI matrice ad elementi interi e laΛ matrice ad elementi complessi), laI individua laΛ se e solo seρ=δ 2. Inoltre laI può esser data ad arbitrio se e solo seρ=p. Se invece ρ<p, laI si riduce in generale allaγU (oveγ é un intero qualunque e laU è la matrice diagonale unitaria). Per valori particolari dei moduli alla soluzioneI=γU possono tuttavia aggiungersi anche altre soluzioni.
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Bibliography
F. Severi,Funzioni quasi abeliane, « Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta Varia », n. 4, 1947; tale Memoria sarà citata in seguito con F. Q. A.
Cfr. le due fondamentali Memorie diG. Scorza,Intorno alla teoria generale delle matrici di Riemann e ad alcune sue applicazioni, « Rend. Palermo », t. 41, 1916 eLe algebre di ordine qualunque e le matrici di Riemann, « Rend. Palermo », t. 45, 1921.
F. Conforto,Sopra le trasformazioni in sè della varietà di Jacobi relativa ad una curva di genere effettivo diverso dal genere virtuale, in ispecie nel caso di genere effettivo nullo, « Annali di Matematica », t. XXVII, 1948;Alcune osservazioni sulla teoria delle funzioni e delle varietà quasi abeliane, « Boll. dell' U. M. I., serie III, anno IV, n. 1, 1949;Sopra le corrispondenze univoche tra i punti di una varietà quasi abeliana di Picard, rappresentate da congruenze lineari tra gli integrali virtualmente di prima specie, « Rend. Ace. Lincei », serie VIII, Vol. V, 1948.
F. Q. A., n. 48.
In realtà la dimostrazione del fatto che ogni matrice quasi abeliana è equivalente ad una matrice in forma normale è subordinata al verificarsi di un'ipotesi, detta daSeveri « l'ipotesiL », che potrà eventualmente essere restrittiva (cfr. F. Q. A., nn. 45 e 47). Se l'ipotesiL dovesse veramente risultare restrittiva vi potrebbero essere corpi di funzioni quasi abeliane, per i quali la matrice dei periodi non potrebbe essere ricondotta alla forma normale. Tali (eventuali) corpi si intendono comunqueesclusi dalle considerazioni della presente memoria, nella quale la forma normale della matrice dei periodi ha un ufficio essenziale.
Cfr. ad es. il mio volume:Funzioni abeliane e matrici di Riemann, p. I, « Corsi dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica », Roma, 1942, cap. I, n. 48.
F. Q. A., n. 55.
F. Q. A., n. 54.
F. Q. A., n. 55.
Cfr. ad es. loco citato in (6), cap. II, n. 18.
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Conforto, F. Sulla totalità delle relazioni generalizzate di Hurwitz di una matrice quasi abeliana. Annali di Matematica 28, 299–315 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02411136
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02411136