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Literatur
Siehe dessen Abhandlungen: «Observatio arithmetica» (lateinisch geschrieben), 1874 und «Lehrsätze über arithmetische Eigenschaften der Irrationalzahlen», 1888 (in Christoffel's «Gesammelten mathematischen Abhandlungen»). Der Verfasser wurde erst nach Formulierung seiner Lösung des gleichen Problems, welche die Aufstellungen Simony's erklären solite, durch Herrn Prof. Dr. Heinrich Tietze in Erlangen auf die Arbeiten Christoffel's aufmerksam gemacht.
Siehe dessen Abhandlungen: «Über eine Reihe neuer mathematischer Erfahrungssätze», II. Teil (im 87. Bande der Sitzungsberichte der kais. Akademie der Wissenschaften, Wien 1883), sowie: «Über eine Reihe neuer Tatsachen aus dem Gebiete der Topologie» (Math. Annalen, Bd. 24, 1883) und ergänzend Teile I und III der «Mathematischen Erfahrungssätze» (Sitzungsberichte Wien, Bd. 85, 1882; 88, 1883), sowie «Neue Tatsachen auf dem Gebiete der Topologie» (Math. Annalen, Bd. 19, 1882).
Von Christoffel als «Charakteristik» bezeichnet. Derselbe Begriff wird von ihm in erweitertem Sinne zur vollständigen Beschreibung von Irrationalzahlen verwendet.
Hiebei dient das Symbol der (nicht kommutativen) Multiplikation wie bei Simony und Christoffel nur zur Bezeichnung der Aneinanderreihung von Gliedern, beziehungsweise Umläufen.
Dieser Zusammenhang erscheint auch bei Simony, und zwar topologisch formuliert, siehe dessen «Mathematische Erfahrungssätze», II, p. 10, und «Über eine Reihe neuer Tatsachen auf dem Gebiete der Topologie», II, p. 266.
Siehe hiezu auch die Figurentafeln der Simony'schen Abhandlungen.
Simony hat diese an den Knotengebilden abgelesene Gesetzmäßigkelt in der Form von zwei «Typengleichungen» dargestellt, welche sich, im Zusammenhange mit der Dualität der Fällek n=1 undk n>1, durch Vergleich mit elementareren Gebilden, die ihrerseits auf Gebilde niedrigerer Ordnung zurückführen, als Rekursionsformeln charakterisieren. Eine Darstellung dieser Formeln findet sich in den zitierten Abhandlungen (siehe Anmerkung 2). Die Herleitung der beiden Typengleichungen aus dem hier entwickelten Formelsystem vollzieht sich in einfacher Weise; nur ist hiebei zu beachten, daß Simony zur Charakterisierung der Knotenverbindung nur die Windungszahlen der «Knoten» zählt, weshalb jedesmal die Gleiderzahl des letzten Umlaufs erster Ordnung, welcher im Sinne der Transformation nur leer laufende Windungen enthält, in diesen Formeln auszufallen hat.
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Müller, E. Der Aufbau von Perioden arithmetischer Reihen als Grundlage topologischer Erfahrungssätze Simony's. Monatsh. f. Mathematik und Physik 33, 113–120 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01705593
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01705593