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Literatur
Vgl. die vorläufige Mitteilung unter dem Titel “Über Binäranalyse und elastische Potentiale”, Wien. Anz. v. 26. April 1906.
Vgl. “Über Binäranalyse”, Sitzgsber. d. Wien. Ak., Bd. 112, Abt. IIa (im folgenden mit “B” zitiert), und “Über die höheren Vektorgrößen der Kristallphysik als binäre Formen”, ebda., Bd. 113, Abt. IIa, p. 1107.
Dieser allgemeine Satz ergibt sich durch Spezialisierung für mehrfachquadratische Formen einer allgemeinen Reihenentwicklung, s. “Über die Reihenentwicklung mehrfachbinärer Formen”, Wien. Ber., Bd. CXIII, Abt. IIa, p. 1209. Für spezielle Fälle wird er im folgenden von neuem bewiesen.
Diese einfachen Beziehungen lassen den Versuch vielleicht als wünschenswert erscheinen, die einfache Figur des Zweibeines und der beiden ihm assoziierten Zweibeine geometrischen Betrachtungen in der Theorie der elliptischen Funktionen zu Grunde zu legen.
S. Gibbs-Wilson, Vektoranalysis, p. 265.
S. Beltrami, “Note fisicomatematiche”, Rend. mat. di Palermo, t. 3, p. 74, und Somigliana, “Sul potenziale elastico”, Ann. di. mat. (3), t. VII p. 129.
S. Helmholtz, Vorlesungen, II, p. 120.
S. Voigt, “Allgem. Formeln für die Bestimmung der Elastizitätsk on stanten etc.”, Wied. Ann., Bd. 16, p. 273.
S. Aron, “Über die Herleitung der Kristallsysteme aus der Theorie der Elastizität”, Wied. Ann., Bd. 20, p. 272.
S. Minnigerode, “Untersuchungen über die Symmetrieverhältnisse und die Elastizität der Kristalle”, Gött. Nachr. 1884, p. 195, 374, 488.
S. Somigliana, l. c., “Sul potenziale elastico”, Ann. di. mat. (3), t. VII p. 129. und “Sulla legge di razionalità rispetto alle proprietà elastici dei cristalli”, Rend. delle R Acc. dei Lincei. (5), t. III, p. 238, und “Sopra gli invarianti ortogonali di deformazioni”, ib. (5), t. IV, p. 25.
Vgl. H. Burkhardt, Über Funktionen von Vektorgrößen, welche selbst wieder Vektorgrößen sind. Math. Ann, Bd. 43, S. 197, und “B.”, p. 1093.
Vgl. “Über die lineare Vektorfunktion etc.” l. c. p. 1081. — Die Bezeichnung r; f für die Dyadik Φ von Gibbs-Wilson, l. c. p. 265, rührt von Jaumann her, s. Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig 1905, p. 28. Das dyadische Produkt\(\mathfrak{D}\) kann dauch durch eine bilineare Form in den Cartesischen Koordinaten zweier Vektoren gegeben werden oder, wenn man den Vektor nach Art. 4 durch eine ternäre Linearform darstellt, durch das Produkt zweier symbolischer ternären Linearformen.
S. die in: “Über Reihenentwicklungen etc.” l. c. pag. 1211 angegebene Modifikation der Clebsch-Gordanschen Entwicklung.
Die Koeffizientensysteme für diese in Cartesischen Koordinaten gegebenen Produkte s. bei Voigt, Komp. d. Phys., p. 137.
Die verschiedenen geometrischen Symmetrien oder kristallographischen Gruppen sind nach Schönflies “Kristallsysteme und Kristallstruktur”, Leipzig 1891, Voigt, Komp. d. Phys., I., p. 134, durch die folgenden Gruppen charakterisiert. Die Kristallgruppe ist: triklin: Identität; monoklin: zyklische GruppeC 2; rhombisch: diedrische GruppeD 2=VierergruppeV; rhomboëdrisch: zyklische GruppeC 3; diedrische GruppeD 3; tetragonal: zyklische GruppeC 4; diedrische GruppeD 4; hexagonal: zyklische GruppeC 6; diedrische GruppeD 6; regulär: Oktaedergruppe, Tetraedergruppe.
Ein solcher spezieller Strain ist die Doppelscherung (s. Art. 15); nur stehen bei dieser die Vektoren p, q (die in Art. 15 mit n, m bezeichnet wurden) aufeinander senkrecht.
Die beiden anderen Hauptdilatationen werden ebenso aus den skalaren Produkten der zu u2 assoziierten Zweibeine gefunden.
Bezüglich des Systems einer Biquadrik und einer Quadrik s. Clebsch, Binäre Formen, p. 212.
Es werden hier und im folgenden statt der Zeichen für Überschiebungen die Bezeichnungen der eingeführten entsprechenden Produkte verwendet.
Vgl. Voigt: “Über eine anscheinend notwendige Erweiterung der Theorie der Elastizität”, Wied. Ann., Bd. 52, p. 536. Der dort verwendete Satz des Herrn Stickelberger folgt nach dem Obigen als: Jede ganze rationale Funktion der Strainkoordinaten, welche vom Koordinatensystem unabhängig ist, ist eine ganze rationale Funktion von u0,g 2,g 3; denn diese Größen bilden das volle System der Invarianten der Duploquadrik des Strains.
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Waelsch, E. Über mehrfache Vektoren und ihre Produkte sowie deren Anwendung in der Elastizitätstheorie. Monatsh. f. Mathematik und Physik 17, 241–280 (1906). https://doi.org/10.1007/BF01697647
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