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Literatur
Neue Begründung der ebenen Geometrie. Math. Ann. 64, S. 449 (1907).
Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., 1909, §§ 18–21.
Über den Inhalt sphärischer Dreicke. Math. Ann. 60 (1905), S. 166.
F. Schur, Grundlagen der Geometrie. Leipzig (Teubner) 1909.
Vgl. Schur, Grundl. d. G. § 5, Nr. 33.
(Saccheri.) Vgl. hierzu u. zu dem folg. 4. Satze etwa Engel und Stäckel, Die Theorie der Parallellinien, Leipzig 1895, S. 31 ff. oder Bonola-Liebmann, Nicht-Euklidische Geometrie, Leipzig 1908, S. 24 ff.
Auch dieser Satz ist unmittelbar aus unseren Postulaten herzuleiten. Wir denken hier und bei dem vorigen Satze an den einfachen geometrischen, die Stetigkeit und eine Voraussetzung über das Schneiden der Geraden nicht benutzenden Beweis von Joh. Heinr. Lambert. Man findet diesen Beweis, von systematischen Fehlern gereinigt, ausführlich wiedergegeben bei Schur, Grundl. d. G., S. 103 ff.
Dieser Beweis nach Dehn, a. a. O., Beweis von Joh. Heinr. Lambert. Man findet diesen Beweis, von systematischen Fehlern gereinigt, ausführlich wiedergegeben bei Schur, Grundl. d. G., S. 166.
Die Einsicht in diesen bemerkenswerten Zusammenhang, der sich schon bei Legendre (Géom. VII, 25) findet, ist neuerdings von M. Dehn ganz wesentlich erweitert und vertieft worden (Die Eulersche Polyederformel im Zusammenhangen mit dem Inhalt in der Nicht-Euklidischen Geometrie, Math. Ann. 61, S. 561 ff.). Insbesondere hat Dehn in dieser Untersuchung gezeigt, daß eine der hier benutzten analoge Zerlegungsinvariante (Inhaltsgröße), die bekanntlich im Raum von drei Dimensionen nicht auftritt, in höheren Räumen von gerader Dimensionenzahl existiert und dort mit dem Inhalt der betrachteten polyedrischen Figur in enger Beziehung steht.
Hier ist natürlich nicht eine vollständige Entwicklung der projektiven Geometrie bis zum Fundamentalsatze einschließlich gemeint, sondern nur die Ableitung der ihr beinicht-archimedischer Entwicklung unmittelbar zugrunde liegenden Tatsachen (Pascalscher Satz). [Vgl. F. Schur, Math. Ann. 57, S. 205, und Grundlagen der Geometrie § 1–3, und G. Hessenberg, Math. Ann. 61, S. 162.] Es sei ferner hier nochmals darauf hingewiesen, daß wir bei der ordinären Annahme die in Rede stehenden Tatsachen nicht benutzt haben zur Lösung der im Texte behandelten Aufgabe. Es ist dies eine in systematischer Hinsicht immerhin beachtenswerte Tatsache.
Vgl. d. a. O. insbes. S. 460 und Schur, Grundl. d. G., § 7, insbes. S. 158 u. 159.
Vgl. a. Hilbert, Grundl. d. G., 3. Aufl., §§ 15, 16.
Grundlagen d. G., 3. A., § 20.
Dieser Satz, der nach unseren Ausführungen in der allgemeinen Geometrie uneingeschränkte Gültigkeit besitzt, ist zuerst von Lexell (Solutio problematis geometrici ex doctrina sphaericorum. Acta Petropol. 1781) auf analytischem und später von Euler (Variae speculationes super areas triangulorum sphaericorum. Acta Petropol. 1797) auch auf geometrischem Wege für die Geometrie auf der Kugel bewiesen worden. Der Verfasser hat in der Dissertation auch einen allgemeinen analytischen Beweis dieses Satzes gegeben.
Vg. Schur, Grundl. d. G., § 1, S. 7 (insbes. das 6. Postulat).
Die Tatsache, daß das von Euklid gewählte Kriteriensystem etwas Über-flüssiges enthält, scheint zuerst P. Gervien bemerkt zu haben (J. f. Math. 10, 1833). Weitere Entwicklungen hierüber rühren von W. Bolyai, C. Duhamel und A. Faifofer her (vgl. den Enzykl.-Artikel von Enriques, Prinzipien d. Geometrie, III 10, S. 47 ff.). Von den genannten Autoren werden jedoch die hierher gehörigen elementaren Fragen in recht umständlicher Weise behandelt und überdies nicht vollkommen, d. h. im Sinne unserer allgemeinen, von einem bestimmten Parallelenaxiom unabhängigen Voraussetzungen erledigt. Wir geben daher hier eine neue, vereinfachte und unserem allgemeinen Standpunkte entsprechende Darstellung der bezeichneten Tatsachen.
Grundl. d. G., 3. Aufl., § 19.
Nicht-Euklidische Raumformen, Leipzig 1885.
Vgl. hierzu: Engel und Stäckel, Die Theorie der Parallellinien, Leipzig 1895, S. 137 ff. oder Bonola-Liebmann, Nicht-Euklidische Geometrie, Leipzig 1908, S. 46 ff.
Über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie (Math. Ann. (1898) 51, S. 403). Nachdem Schur hier den Beweis geliefert hatte, daß das Rechnen mit Strecken (die Proportionslehre ist in der Streckenrechnung enthalten) auf einem von der Maßzahl und dem Archimedischen Postulate unabhängigen Wege hergeleitet werden könnte, entwickelte später Hilbert unabhängig davon eine solche Proportionslehre, die sich zugleich auf ebene Axiome beschränkte, (Grundl. d. G., 3. Aufl., Kap. III, insbesondere § 16) jedoch das Euklidische Parallelenaxiom zur Voraussetzung hat. Auf dieser Proportionslehre beruht dann die ebenda von Hilbert gegebene, in der Einleitung erwähnte Entwicklung der Inhaltslehre.
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Finzel, A. Die Lehre vom Flächeninhalt in der allgemeinen Geometrie. Math. Ann. 72, 262–284 (1912). https://doi.org/10.1007/BF01667327
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