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Literaturnachweis
Erwähnt sei, daß (wie leicht nachzuweisen) in dieser Definition, ohne ihre Tragweite zu ändern, die Worte „beschränkte, abgeschlossene” sowie „x und daher auch” gleichzeitig fortgelassen werden dürfen (wobei unter „stetige Funktion vonx undy” nach wie vor eineauf der betreffenden Punktmenge stetige Funktion zu verstehen ist).
Wird diese Voraussetzung fortgelassen, so ist eine gleichmäßige Approximation vonx durch Polynome vonz selbstverständlich nicht mehr möglich (vgl. Fußnote 36 der früheren Arbeit), wohl aber eine solche durchrationale Funktionen vonz; siehe im Folgenden Nr. 3.
Sur un problème de M. P. Montel. Par. C. R.184 (1927), p. 1634.
Die angegebenen Seitenzahlen beziehen sich, wenn nicht anders bemerkt, stets auf die frühere Arbeit der Verfasser.
Oder auch mit denjenigen nirgends dichten, beschränkten, abgeschlossenen Mengen, deren einzelne „Stücke” (Encykl. d. math. Wiss. II C 9a, S. 902) die Ebene nicht zerlegen.
Allgemeiner lassen sich (wie aus dem Satze des Textes sofort folgt, da jede abgeschlossene Teilmenge einer β-Menge wieder eine β-Menge ist) diejenigen β-Mengen, welche zugleich „F σ-Mengen” (d. h. Vereinigungsmengen von höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen)sind, charakterisieren als dieVereinigungsmengen von (höchstens) abzählbar vielen α-Mengen. [Daß keineswegs jede β-Menge (auch nicht jede auf derx-Achse gelegene) eineF σ-Menge zu sein braucht, ergibt sich leicht bei Benutzung eines Satzes von Hausdorff (Math. Zeitschr.5 (1919), S. 309, letzter Satz für α=1)].
Daß es nirgends dichte, beschränkte, abgeschlossene Mengen (und sogar solche, die mit der Begrenzung eines einfach zusammenhängenden Gebietes identisch sind) gibt, welche diese Eigenschaftnicht besitzen (also nicht β-Mengen sind), ist auf S. 258–259 der früheren Arbeit bemerkt. (Vgl. daselbst auch S. 238 sowie Fußnote 47.)
Wegen der Ersetzbarkeit von Γ durch Γ0 vgl. das in Fußnote 95 der früheren Arbeit Gesagte.
Es kommen bei der nachherigen Anwendung bloß Polygonflächen in Betracht.
C. Runge, Acta Math.6 (1885), S. 229.
Vgl. Fußnote 35 der früheren Arbeit.
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Hartogs, F., Rosenthal, A. Über Folgen analytischer Funktionen. Math. Ann. 104, 606–610 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457959
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