Abstract
The aim of this article is to compute the total (absolute) curvature, i.e. the mean value of the (absolute) Lipschitz-Killing-curvature, of an immersion f: M→Sn of a compact manifold into the unit sphere in a differential topological manner. Through a generalization of KUIPERs treatment of immersions in Euclidean spaces it can be computed as the mean value of the number of critical points—weighted by (−1)k (k=Index) resp.not weighted—of certain functions. These functions are the pullback via f of “level-functions”, which are defined almost everywhere on Sn. Such a “level-function” is constructed by taking any oriented great circle as a “leveling-scale” and the orthogonal great (n−1)-spheres as “level-surfaces”.
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Teufel, E. Eine differentialtopologische Berechnung der Totalen Krümmung und Totalen Absolutkrümmung in der sphärischen Differentialgeometrie. Manuscripta Math 31, 119–147 (1980). https://doi.org/10.1007/BF01303271
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