Geometrische Optik

Zusammenfassung

Lichtwellenlängen sind sehr viel kleiner als die meisten Hindernisse oder Öffnungen im Lichtweg. Daher können wir die Beugung – die Ablenkung der Lichtwellen an den Kanten der Gegenstände – in den meisten Fällen vernachlässigen. In diesem Kapitel werden wir uns mit verschiedenen Anwendungsbeispielen beschäftigen, für die diese Näherung gilt. Wir wenden dann die vereinfachte Beschreibung an, bei der sich die Lichtstrahlen, die senkrecht auf den Wellenfronten stehen, geradlinig ausbreiten. Man spricht dabei auch von geometrischer Optik.

Dieses Foto eines weiblichen Moskitos wurde mithilfe eines Mikroskops aufgenommen. (© Claude Nuridsany & Marie Perennou/Science Photo Library.)

? Aus welchen Größen ergibt sich die Vergrößerung eines Mikroskops? (Siehe Beispiel 29.10.)

Appendices

Im Kontext: Hieroglyphen aus Licht

Wer an einem sonnigen Tag mit offenen Augen durch die Stadt geht, kann in den Genuss eines Lichtphänomens kommen, dessen Ursprung sich vermutlich nicht sofort erschließen lässt: Lichtkreuze in Lichtkreisen.

Lichtkreuze in Lichtkreisen – mittlerweile ein alltäglicher Anblick. (© H. Joachim Schlichting)

Der Ursprung der Lichtkreuze ist in den spiegelnden Reflexionen der Sonne in den Fensterscheiben von Gebäuden zu sehen. Das Licht wird je nach der Höhe der Sonne auf die gegenüberliegende Häuserfront oder die Straße projiziert. Man muss nur 2 min warten, um festzustellen, dass sich der Reflex um seinen eigenen Durchmesser verschoben hat.

Doch wie kann eine rechteckige ebene Scheibe Reflexe hervorrufen, deren Form nichts Rechteckiges an sich hat? Die Ursache dafür ist in der hohl- und wölbspiegelartigen Verformung der rechteckigen Scheiben zu finden. Eine solche Verformung, die beim direkten Anblick eines Fensters kaum zu erkennen ist, kann nur bei Doppelglasscheiben auftreten. Das erklärt im Übrigen auch, warum das Phänomen erst in den letzten Jahrzehnten, seit immer mehr Isolierglasscheiben verbaut wurden, in Erscheinung getreten ist.

Isolierglasscheiben werden so konstruiert, dass zwei Glasscheiben durch einen Abstandhalter getrennt luftdicht miteinander verklebt werden. Der Zwischenraum enthält entweder trockene Luft oder ein anderes Gas. Entscheidend ist aber, dass der Luftdruck zwischen den Scheiben dem jeweiligen Außendruck entspricht, bei dem die Scheiben verklebt werden. Steht die Fensterscheibenfabrik in München (518 m ü. NN) und wird das Fenster in Münster (60 m ü. NN) in ein Gebäude eingebaut, so werden sich die beiden Scheiben aufgrund des höheren Außendrucks am tiefer liegenden Ort nach innen wölben. Das Sonnenlicht trifft daher zunächst auf eine konkav und anschließend auf eine konvex gewölbte Scheibe. Der jeweils gespiegelte Teil des Lichts wird folglich von der äußeren Scheibe fokussiert und von der inneren Scheibe defokussiert.

Konstellation von Fenster, Häuserfront und Sonne bei der Entstehung eines Reflexes. (© H. Joachim Schlichting)

Da rechteckig eingespannte Scheiben längs der Diagonalen am stärksten gekrümmt werden, entwirft die konkav gekrümmte Scheibe auf der Projektionsfläche eine kreuzförmige Lichtfigur. Sie wird von einer Art Lichtkreis überlagert, der durch die Defokussierung an der konvex gekrümmten Scheibe entsteht. Wie man sich leicht überlegen kann, entstehen bei umgekehrten Druckverhältnissen die gleichen Lichtfiguren. Die Scheiben sind dann nach außen gewölbt und vertauschen ihre Rollen.

Da von jeder Scheibe nur wenige Prozent des einfallenden Lichts reflektiert werden, mag es erstaunen, dass die Lichtfiguren so deutlich zu erkennen sind. Dies ist vor allem der Tatsache zu verdanken, dass die Projektionswände naturgemäß meist im Schatten liegen.

Wer die Lichtkreuze einmal gesehen hat, sieht sie immer wieder und wird dabei erkennen, dass sich nicht immer ein Kreuz in einem Kreis ergibt, sondern oft große Abweichungen zu beobachten sind, die von bloßer Unschärfe bis zu Figuren reichen, die nichts mehr mit einem Kreuz gemein haben. Das liegt daran, dass ein scharfes Kreuz nur dann entsteht, wenn die Krümmung gerade so groß ist, dass der Abstand der Projektionswand der dazu passenden Brennweite entspricht und die Scheiben keine anderweitigen Deformationen aufweisen.

• 1. Schlichting, H. J., „Lichtkreuze in Lichtkreisen“, MNU 57/8, 2004, 467–474

H. Joachim Schlichting promovierte in theoretischer Physik und habilitierte sich in Didaktik der Physik. Zuletzt war er langjähriger Direktor des Instituts für Didaktik der Physik an der Universität Münster. Für seine Bemühungen, Probleme der modernen Physik für den Physikunterricht aufzuarbeiten und seine Arbeiten über Natur- und Alltagsphänomene wurde er 2008 mit dem Robert-Wichard-Pohl-Preis der DPG und 2013 mit dem Archimedes-Preis der MNU ausgezeichnet.

Zusammenfassung

	Thema	Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Virtuelle und reelle Bilder und Gegenstände
	Bilder	Ein Bild ist reell, wenn sich in jedem Bildpunkt tatsächlich Lichtstrahlen treffen. Dies kann vor einem Spiegel der Fall sein, aber auch auf der Transmissionsseite einer Linse oder einer brechenden Oberfläche. Ein Bild ist virtuell, wenn sich in jedem Bildpunkt nur Verlängerungen tatsächlicher Lichtstrahlen treffen. Dies kann hinter einem Spiegel der Fall sein, aber auch auf der Einfallsseite einer Linse oder einer brechenden Oberfläche.
	Gegenstände	Ein reeller Gegenstand kann entweder ein tatsächlich dort platzierter Gegenstand oder ein reelles Bild sein. Ein Gegenstand ist reell, wenn von jedem Gegenstandspunkt tatsächlich Lichtstrahlen ausgehen. Dies kann nur auf der Einfallsseite eines Spiegels, einer Linse oder einer brechenden Oberfläche der Fall sein. Ein Gegenstand ist virtuell, wenn von jedem Gegenstandspunkt nur Verlängerungen tatsächlicher Lichtstrahlen ausgehen. Dies kann hinter einem Spiegel oder auf der Transmissionsseite einer Linse oder einer brechenden Oberfläche der Fall sein.
2.	Sphärische Spiegel
	Brennweite	Die Brennweite ist die Bildweite bei einem unendlich weit entfernten Gegenstand. Dann fällt das Licht parallel zur optischen Achse ein und wird auf den Brennpunkt fokussiert.
	Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel	$\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$   (29.4) Darin ist $g$ die Gegenstandsweite, $b$ die Bildweite und $f$ die Brennweite, die dem halben Radius $r$ des Spiegels entspricht: $f=\frac{r}{2}\,$   (29.3)
	Vergrößerung	$V=\frac{B}{G}=-\frac{b}{g}$   (29.5) Darin ist $B$ die Bildhöhe und $G$ die Gegenstandshöhe.
	Bildkonstruktion	Das von einem sphärischen Spiegel entworfene Bild kann mithilfe von mindestens zwei der drei Hauptstrahlen konstruiert werden, die achsennah sein müssen: 1. Der achsenparallele Strahl wird in den Brennpunkt reflektiert. 2. Der Brennpunktsstrahl verläuft durch den Brennpunkt und wird achsenparallel reflektiert. 3. Der radiale Strahl verläuft durch den Krümmungsmittelpunkt des Spiegels, trifft diesen senkrecht zur Oberfläche und wird in sich selbst reflektiert.
	Vorzeichenkonvention für die Reflexion an einem Konkav- oder Konvexspiegel	1. Die Gegenstandsweite $g$ ist positiv, wenn sich der Gegenstand auf der Seite des Spiegels befindet, von der aus das Licht auf den Spiegel fällt. 2. Die Bildweite $b$ ist positiv, wenn sich das Bild auf der Seite des Spiegels befindet, in die das Licht vom Spiegel reflektiert wird. 3. Der Krümmungsradius $r$ ist (wie auch die Brennweite $f$) positiv, wenn der Spiegel konkav ist. Dann liegt der Brennpunkt auf der Seite des Spiegels, auf der das Licht einfällt und in die es reflektiert wird.
3.	Durch Brechung erzeugte Bilder
	Brechung an einer einzelnen Oberfläche	$\frac{n_{1}}{g}+\frac{n_{2}}{b}=\frac{n_{2}-n_{1}}{r}$   (29.6) Darin ist $n_{1}$ die Brechzahl des Mediums auf der Einfallsseite der brechenden Oberfläche, und $n_{2}$ ist die Brechzahl des brechenden Mediums.
	Vergrößerung	$V=\frac{B}{G}=-\frac{n_{1}\,b}{n_{2}\,g}$   (29.7)
	Vorzeichenkonvention für die Brechung	1. Die Gegenstandsweite $g$ ist positiv für Gegenstände auf der Einfallsseite der brechenden Fläche. 2. Die Bildweite $b$ ist positiv für Bilder auf der Transmissionsseite der brechenden Fläche. 3. Der Krümmungsradius $r$ ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite der brechenden Fläche liegt.
4.	Dünne Linsen
	Reziproke Brennweite einer dünnen Linse	$\frac{1}{f}=\left(\frac{n}{n_{\text{Luft}}}-1\right)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)$   (29.11) Eine positive Linse ($f> 0$) oder Sammellinse ist beispielsweise bikonvex. Eine negative Linse ($f<0$) oder Zerstreuungslinse ist beispielsweise bikonkav.
	Erster und zweiter Brennpunkt	Achsenparallel einfallende Strahlen treten so aus der Linse aus, dass sie entweder auf den ersten Brennpunkt $F^{\,\prime}$ gerichtet sind oder von ihm ausgehen. Einfallende Strahlen, die entweder auf den zweiten Brennpunkt $F$ gerichtet sind oder von ihm ausgehen, treten achsenparallel aus der Linse aus.
	Brechkraft	$D=\frac{1}{f}$   (29.13)
	Abbildungsgleichung für dünne Linsen	$\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$   (29.12)
	Vergrößerung	$V=\frac{B}{G}=-\frac{b}{g}$   (29.14)
	Bildkonstruktion	Das von einer dünnen Linse entworfene Bild kann mithilfe von mindestens zwei der drei Hauptstrahlen konstruiert werden, die achsennah sein müssen: 1. Der achsenparallele Strahl wird so gebrochen, dass er durch den zweiten Brennpunkt der Linse verläuft. 2. Der Mittelpunktsstrahl verläuft durch den Mittelpunkt der Linse und wird nicht aus seiner Richtung abgelenkt. (Er wird allerdings seitlich etwas versetzt, wie bei einer planparallelen Platte. Diese Verschiebung kann bei dünnen Linsen vernachlässigt werden.) 3. Der Brennpunktsstrahl verläuft durch den ersten Brennpunkt und tritt achsenparallel aus. (Bei einer Zerstreuungslinse wird der Brennpunktsstrahl auf den ersten Brennpunkt, hinter der Linse, gerichtet.)
	Vorzeichenkonvention für die Abbildung durch Linsen	Die Vorzeichenkonvention ist dieselbe wie die für die Brechung an einer sphärischen Oberfläche.
5.	Abbildungsfehler	Bei der Abbildung durch Linsen und Spiegel gibt es prinzipielle Verzerrungen und Unschärfen, die nicht auf Material- oder Fertigungsfehler zurückzuführen sind.
	Sphärische Aberration	Die sphärische Aberration rührt von Strahlen her, die nicht achsennah sind und daher nicht in einem einzigen Punkt fokussiert werden. Die Auswirkung der sphärischen Aberration kann durch Ausblenden achsenferner Strahlen verringert werden. Dadurch wird die einfallende Lichtmenge und damit die Helligkeit des Bilds geringer.
	Chromatische Aberration	Die chromatische Aberration tritt nicht bei Spiegeln auf, sondern nur bei Linsen. Sie rührt daher, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt. Ihre Auswirkung kann verringert werden, indem man keine einzelne Linse einsetzt, sondern eine Kombination mehrerer Linsen aus Materialien mit unterschiedlichen Brechzahlen.
6.	Auge	Das System Hornhaut–Linse des Auges fokussiert das einfallende Licht auf die Netzhaut. Hier nehmen es die Stäbchen und die Zäpfchen auf und leiten die Sinnesreize über den Sehnerv an das Gehirn weiter. Bei entspannter Augenlinse beträgt die Brennweite des Systems Hornhaut-Linse rund 2,5 cm; dies ist der Abstand zwischen Augenlinse und Netzhaut. Wenn Gegenstände nahe vor das Auge gebracht werden, krümmt bei der Akkommodation der Ziliarmuskel die Augenlinse stärker, sodass die Brennweite verringert wird und die Strahlen auch dabei auf die Netzhaut fokussiert werden. Der Nahpunkt ist der Gegenstandspunkt mit dem geringsten Abstand vom Auge, der noch scharf gesehen wird; dieser Abstand liegt normalerweise bei ungefähr 25 cm, wird aber mit zunehmendem Alter meist deutlich größer. Die Größe, in der ein Gegenstand erscheint, hängt von der Bildhöhe auf der Netzhaut ab. Je näher ein Gegenstand dem Auge ist, desto größer ist sein Bild auf der Netzhaut und damit auch die scheinbare Gegenstandshöhe.
7.	Lupe	Eine Lupe ist eine Linse mit positiver Brennweite, die kleiner ist als der Abstand des Nahpunkts vom Auge. Sie erzeugt ein virtuelles, vergrößertes Bild des Gegenstands beim Nahpunkt des Auges.
	Vergrößerung der Lupe	$V_{\mathrm{L}}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}=\frac{s_{0}}{f}$   (29.20) Darin ist $\varepsilon$ der Sehwinkel und $\varepsilon_{0}$ der Sehwinkel am Nahpunkt im Abstand $s_{0}$ vom Auge.
8.	Mikroskop	Das Mikroskop dient zum Betrachten sehr kleiner Gegenstände in geringem Abstand vom Objektiv. Es besteht aus zwei Sammellinsen (oder Linsensystemen), und zwar dem Objektiv und dem Okular. Der zu betrachtende Gegenstand wird etwas außerhalb der Brennweite des Objektivs platziert. Das Objektiv entwirft ein vergrößertes Bild des Gegenstands, das am Brennpunkt des Okulars liegt. Dieses wirkt als Lupe, mit der das Endbild betrachtet wird.
	Vergrößerung des Mikroskops	$V_{\mathrm{M}}=V_{\mathrm{Ob}}\,V_{\mathrm{Ok}}=-\frac{l}{f_{\mathrm{Ob}}}\,\frac{s_{0}}{f_{\mathrm{Ok}}}$   (29.22) Darin ist $l$ die Tubuslänge, also der Abstand zwischen dem zweiten Brennpunkt des Objektivs und dem ersten Brennpunkt des Okulars.
9.	Teleskop	Das Teleskop dient zum Betrachten weit entfernter Gegenstände. Sein Objektiv erzeugt ein reelles Bild des Gegenstands, das viel kleiner ist als der Gegenstand, jedoch wesentlich näher beim Betrachter liegt. Das Okular dient als Lupe, mit der dieses Bild betrachtet wird. Beim Spiegelteleskop ist das Objektiv als Hohlspiegel ausgeführt.
	Vergrößerung des Teleskops	$V_{\mathrm{T}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{Ok}}}{\varepsilon_{\mathrm{Ob}}}=-\frac{f_{\mathrm{Ob}}}{f_{\mathrm{Ok}}}$   (29.23)

Antworten auf die Kurzfragen

• 29.1 Ben kann nur das Bild bei $P^{\,\prime}_{1}$ sehen.

• 29.2 Unendlich groß.

• 29.3 Vgl. Abb. 29.58.

Abb. 29.58

Bildkonstruktion für die scheinbare Tiefe $b$ eines Gegenstands im Wasser, der direkt von oben betrachtet wird. Das Bild $P^{\,\prime}_{1}$ erscheint weniger tief, als sich der Gegenstand $P$ befindet

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 29.1 $b=-2{,}5\,\text{cm}$, $V=+0{,}50$; das Bild ist aufrecht, virtuell und verkleinert.

• 29.2 390 m

• 29.3 Mit $n_{1}=1{,}33$ und $n_{2}=1{,}00$ sowie $g=7{,}5\,\text{cm}$ und $r=-15{,}0\,\text{cm}$ ergibt sich: a) $b=-6{,}44\,\text{cm}$ und b) $V=1{,}14$. Tommy sieht Jonas um 1,1 cm näher und um 14 % größer als er tatsächlich ist.

• 29.4 Das Bild befindet sich 5,6 cm vor der Vorderseite des Aquariums.

• 29.5 18 cm

• 29.6 $b=30\,\text{cm}$, $V=-2{,}0$; reell und umgekehrt

• 29.7 $b=-10\,\text{cm}$, $V=2{,}0$; virtuell und aufrecht

• 29.8 $D_{\mathrm{Auge}}=41{,}33\,\text{dpt}$; $D_{\mathrm{Kombin.}}=41{,}33\,\text{dpt}+2{,}67\,\text{dpt}=44\,\text{dpt}$. Die Brechkraft ist gleich derjenigen der Linse.

• 29.9 $V=12$

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

29.1

• Nehmen Sie an, jede der drei Achsen eines kartesischen Koordinatensystems wird in einer anderen Farbe gezeichnet. Dann wird dieses Koordinatensystem fotografiert, außerdem sein von einem ebenen Spiegel erzeugtes Spiegelbild. Kann man den Aufnahmen entnehmen, dass eine von ihnen ein Spiegelbild zeigt, d. h. dass nicht beide Fotos das reale Koordinatensystem – mit unterschiedlichen Betrachtungswinkeln – zeigen?

29.2

• Richtig oder falsch? a) Das von einem Konkavspiegel entworfene virtuelle Bild ist stets kleiner als der Gegenstand. b) Ein Konkavspiegel erzeugt stets ein virtuelles Bild. c) Ein Konvexspiegel erzeugt niemals ein reelles Bild eines realen Gegenstands. d) Ein Konkavspiegel erzeugt niemals ein vergrößertes reelles Bild eines Gegenstands.

29.3

• Ein Gegenstand steht auf der optischen Achse 40 cm weit vor einer Zerstreuungslinse mit der Brennweite $-10\,\text{cm}$. Wie sieht das Bild aus? a) Reell, umgekehrt und verkleinert, b) reell, umgekehrt und vergrößert, c) virtuell, umgekehrt und verkleinert, d) virtuell, aufrecht und verkleinert, e) virtuell, aufrecht und vergrößert.

29.4

• Ein Gegenstand steht zwischen dem Brennpunkt und der Mitte einer Sammellinse. Wie sieht das Bild aus? a) Reell, umgekehrt und vergrößert, b) virtuell, aufrecht und verkleinert, c) virtuell, aufrecht und vergrößert, d) reell, umgekehrt und verkleinert.

29.5

• Richtig oder falsch? a) Ein virtuelles Bild kann nicht auf einem Schirm betrachtet werden. b) Eine negative Bildweite bedeutet, dass das Bild virtuell ist. c) Alle Strahlen, die parallel zur optischen Achse eines sphärischen Spiegels verlaufen, werden in einen einzigen Punkt reflektiert. d) Eine Zerstreuungslinse kann kein reelles Bild eines realen Gegenstands erzeugen. e) Bei einer Sammellinse (positiven Linse) ist die Bildweite stets positiv.

29.6

•• Rückspiegel bei Fahrzeugen sind oft als Konvexspiegel ausgeführt, damit der Blickwinkel möglichst groß ist. Nehmen Sie an, unter einem solchen Spiegel ist folgender Warnhinweis angebracht: „Achtung! Fahrzeuge sind näher, als sie in diesem Spiegel erscheinen.“ Aus der Bildkonstruktion geht jedoch hervor, dass bei einem enfernten Gegenstand die Bildweite viel kleiner ist als die Gegenstandsweite. Warum scheint er dennoch weiter entfernt zu sein?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

29.7

• Schätzen sie die Bildweite und die Bildhöhe ab, wenn Sie einen blanken Löffel etwa 30 cm weit vor Ihr Gesicht halten, wobei die konvexe Seite des Löffels Ihnen zugewandt ist.

29.8

•• Schätzen Sie mithilfe der Gleichung

$$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle V_{\mathrm{L}}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}=\frac{s_{0}}{f}\end{aligned}$$

den Maximalwert der Vergrößerung ab, die man mit einer Lupe in der Praxis erreichen kann. (Hinweis: Überlegen Sie sich, wie groß die kleinste Brennweite einer Sammellinse aus Glas sein kann, die noch als Linse brauchbar ist.)

1.3 Ebene Spiegel

29.9

• Eine 1,62 m große Person möchte ihr gesamtes Bild in einem senkrecht stehenden ebenen Spiegel sehen. a) Wie hoch muss der Spiegel mindestens sein? b) Wie hoch muss er über dem Boden stehen, wenn sich der Scheitel der Person 14 cm oberhalb der Augenhöhe befindet? Zeichnen Sie die Bildkonstruktion und erläutern Sie daran Ihre Antwort.

1.4 Sphärische Spiegel

29.10

• Ein sphärischer Konkavspiegel hat eine Brennweite von 4,0 cm. a) Wie groß ist sein Krümmungsradius? b) Wie groß ist die Bildweite eines Gegenstands, der sich 2,0 cm vor dem Spiegel befindet?

29.11

•• Ein sphärischer Konkavspiegel hat einen Krümmungsradius von 24 cm. Konstruieren Sie jeweils das Bild (sofern eines entworfen wird) eines Gegenstands, der a) 55 cm,  b) 24 cm,  c) 12 cm  bzw.  d) 8,0 cm vom Spiegel entfernt ist. Geben Sie jeweils an, ob das Bild reell oder virtuell ist, ob es aufrecht steht oder umgekehrt ist und ob es vergrößert, verkleinert oder ebenso groß wie der Gegenstand ist.

29.12

•• Konvexspiegel dienen beispielsweise in Kaufhäusern dazu, bei vernünftiger Spiegelgröße einen guten Überblick (bzw. ein großes Blickfeld) zu bieten. Der Spiegel in Abb. 29.59 erlaubt es der 5,0 m von ihm entfernten Verkäuferin, den gesamten Verkaufsraum zu überwachen. Der Krümmungsradius beträgt 1,2 m. a) Wenn der Kunde 10 m vom Spiegel entfernt ist, wie weit ist dann sein Bild von der Spiegeloberfläche entfernt? b) Liegt das Bild vor oder hinter dem Spiegel? c) Wenn der Kunde 2,0 m groß ist, wie groß ist dann sein Bild?

Abb. 29.59

Zu Aufgabe 29.12

29.13

•• Der sphärische Konkavspiegel eines Teleskops hat einen Krümmungsradius von 8,0 m. Wo befindet sich das von ihm entworfene Bild des Monds, und welchen Durchmesser hat es? Der Mond hat einen Durchmesser von ca. $3{,}5\cdot 10^{6}\,\text{m}$ und ist von der Erde rund $3{,}8\cdot 10^{8}\,\text{m}$ entfernt.

1.5 Durch Brechung erzeugte Bilder

29.14

• Ein Fisch befindet sich 10 cm weit hinter der Vorderseite eines kugelförmigen Gefäßes, dessen Radius 20 cm beträgt. a) Wie weit hinter dem Glas erscheint der Fisch einem Betrachter, der direkt von vorn auf das Gefäß blickt? b) Um wie viel ändert sich der scheinbare Abstand des Fischs von der vorderen Glaswand, wenn er 30 cm weit von ihr weg schwimmt?

29.15

•• Bei einem sehr langen Glasstab mit einem Durchmesser von 1,75 cm wurde ein Ende zu einer konkaven Halbkugel mit einem Radius von 7,20 cm geschliffen und blank poliert. Die Brechzahl des Glases beträgt 1,68. Auf der Achse des Stabs, 15,0 cm vor der sphärischen Oberfläche, wird ein Gegenstand platziert. Bestimmen Sie den Ort des Bilds und geben Sie an, ob es reell oder virtuell ist. Zeichnen Sie die Bildkonstruktion.

1.6 Dünne Linsen und die Linsengleichung

29.16

• Zeigen Sie, dass in Abb. 29.59 für die Abstände $B$ des Bildpunkts und $G$ des Gegenstandspunkts von der Achse folgende Beziehung gilt:

$$\frac{B}{G}=-\frac{r/2}{g-(r/2)}\,$$

(Hinweis: Lösen Sie $1/g+1/b=2/r$ nach $b$ auf und setzen Sie das Ergebnis in $B/G=-b/g$ ein.)

Abb. 29.60

Zu Aufgabe 29.16

29.17

• Zeigen Sie, dass aus

$$\frac{1}{g}+\frac{1}{b}=\frac{2}{r}$$

(29.24)

folgt:

$$b=\frac{r}{2-r/g}\,$$

Zeigen Sie dann, dass für $g\rightarrow\infty$ gilt: $b\rightarrow r/2$

29.18

• Eine bikonkave Linse aus Glas mit der Brechzahl 1,45 hat Krümmungsradien mit dem Betrag 30,0 cm bzw. 25,0 cm. Ein Gegenstand befindet sich links von ihr, 80,0 cm weit entfernt. Berechnen Sie a) die Brennweite der Linse, b) die Bildweite, c) die Vergrößerung. d) Ist das Bild reell oder virtuell? Steht es aufrecht oder ist es umgekehrt?

29.19

• Die nachfolgend spezifizierten Linsen bestehen aus Glas mit der Brechzahl 1,50. Bei den Radien ist nachstehend jeweils der Betrag angegeben. Skizzieren Sie jede Linse und berechnen Sie ihre Brennweite in Luft: a) bikonvex mit den Krümmungsradien 15 cm und 26 cm, b) plankonvex mit dem Krümmungsradius 15 cm, c) bikonkav mit Krümmungsradien von 15 cm, d) plankonkav mit dem Krümmungsradius 26 cm.

29.20

•• a) Was bedeutet eine negative Gegenstandsweite, und wie kann sie zustande kommen? Nennen Sie ein konkretes Beispiel dafür. b) Bestimmen Sie für eine Sammellinse mit einer Brennweite von 20 cm die Bildweite und die Vergrößerung, wenn die Gegenstandsweite $-20$ cm beträgt. Beschreiben Sie das Bild: Ist es virtuell oder reell? Steht es aufrecht, oder ist es umgekehrt? c) Wiederholen Sie Teilaufgabe b für eine Zerstreuungslinse mit einer Brennweite von betragsmäßig 30 cm sowie für eine Gegenstandsweite von $-10$ cm.

29.21

•• Zwei Sammellinsen, beide mit der Brennweite 10 cm, sind 35 cm voneinander entfernt. Links vor der ersten Linse, 20 cm entfernt, befindet sich ein Gegenstand. a) Zeichnen Sie die Bildkonstruktion und geben Sie an, wo das Endbild liegt. Lösen Sie diese Aufgabe auch mithilfe der Linsengleichung. b) Ist das Endbild reell oder virtuell? Steht es aufrecht, oder ist es umgekehrt? c) Wie hoch ist die durch beide Linsen insgesamt erzielte Lateralvergrößerung?

29.22

•• a) Damit man mit einer dünnen Sammellinse der Brennweite $f$ die Vergößerung $\left|V\right|$ erzielt, muss für die Gegenstandsweite gelten: $g=(1+\left|V\right|^{-1})\,f$. Leiten Sie diese Beziehung her. b) Mit einer Kamera, deren Objektivbrennweite 50,0 mm beträgt, soll eine 1,75 m große Person aufgenommen werden. Wie weit muss sie von der Kamera entfernt sein, damit ihr Bild auf dem Film 24,0 mm hoch ist?

29.23

••• Newton verwendete eine Form der Abbildungsgleichung für dünne Linsen, bei der die Bildweite $b^{\,\prime}$ und die Gegenstandsweite $g^{\,\prime}$ relativ zu den Brennpunkten angegeben sind, also nicht relativ zur Mitte der Linse. a) Fertigen Sie eine Skizze einer Linse an und tragen Sie die Größen $b^{\,\prime}$ und $g^{\,\prime}$ ein. Zeigen Sie, dass mit $b^{\,\prime}=b-f$ und $g^{\,\prime}=g-f$ die Linsengleichung lautet: $g^{\,\prime}\,b^{\,\prime}=f^{2}$.  b) Zeigen Sie, dass die Vergrößerung damit gegeben ist durch: $V=-b^{\,\prime}/f=-f/g^{\,\prime}$.

1.7 Abbildungsfehler

29.24

• Eine symmetrische bikonvexe Linse hat Krümmungsradien mit dem Betrag 10,0 cm. Sie besteht aus Glas mit den Brechzahlen 1,530 für blaues und 1,470 für rotes Licht. Wie groß ist ihre Brennweite a) für rotes Licht und b) für blaues Licht?

1.8 Das Auge

29.25

• Damit zwei sehr nahe beieinander liegende punktförmige Gegenstände getrennt erkennbar sind, müssen ihre Bilder auf der Netzhaut des Auges auf zwei nicht benachbarte Zäpfchen fallen. Zwischen ihren Bildern muss also mindestens ein nicht aktiviertes Zäpfchen liegen. Die Zäpfchen haben einen Abstand von etwa 1,00 $\upmu$m. Stellen Sie sich den Augapfel als homogene Kugel mit dem Durchmesser 2,50 cm und der Brechzahl 1,34 vor. a) Wie groß ist der kleinste Winkel $\varepsilon$ in Abb. 29.61, unter dem die beiden Punkte noch getrennt zu erkennen sind? b) Welchen Abstand dürfen die Punkte dabei voneinander haben, wenn sie 20,0 m vom Auge entfernt sind?

Abb. 29.61

Zu Aufgabe 29.25

29.26

• Nehmen Sie an, als Modell des Auges dient eine Kamera, deren Objektivlinse die feste Brennweite 2,50 cm hat. Die Linse kann zur „Netzhaut“ (der Kamerarückwand) hin und von ihr weg verschoben werden. Wie weit muss die Linse ungefähr verschoben werden, damit ein von der Linse 25,0 cm weit entfernter Gegenstand scharf auf die „Netzhaut“ abgebildet wird? (Hinweis: Ermitteln Sie, wie weit hinter der „Netzhaut“ das Bild des 25,0 cm weit entfernten Gegenstands entworfen wird.)

29.27

•• Ein einfaches Modell des Auges kann man realisieren, indem man eine Linse mit veränderlicher Brechkraft $D$ im festen Abstand $x$ vor einem Schirm anbringt (Abb. 29.62).

Zwischen Linse und Schirm befindet sich Luft. Dieses „Auge“ kann unter Akkommodation scharf abbilden, wenn die Gegenstandsweite $g$ zwischen $s_{0}$ (der deutlichen Sehweite) und $s_{1}$ liegt. Es wird als „normalsichtig“ angesehen, wenn es auf sehr weit entfernte Gegenstände fokussiert werden kann.

a) Zeigen Sie, dass die minimale Brechkraft dieses „normalsichtigen Auges“ gegeben ist durch

$$\begin{aligned}\displaystyle D_{\mathrm{min}}=\frac{1}{x}\,.\end{aligned}$$

b) Zeigen Sie, dass seine maximale Brechkraft gegeben ist durch

$$\begin{aligned}\displaystyle D_{\mathrm{max}}=\frac{1}{s_{0}}+\frac{1}{x}\,.\end{aligned}$$

c) Die Differenz $\Updelta D=D_{\mathrm{max}}-D_{\mathrm{min}}$ nennt man Akkommodation. Wie groß sind die minimale Brechkraft und die Akkommodation des Augenmodells, wenn $x=2{,}50\,\text{cm}$ und $s_{0}=25{,}0\,\text{cm}$ ist?

Abb. 29.62

Zu Aufgabe 29.27

29.28

•• Die Brechzahl der Augenlinse unterscheidet sich nur wenig von der des sie umgebenden Materials. Dagegen ändert sich die Brechkraft beim Übergang von Luft ($n=1{,}00$) zur Hornhaut ($n\approx 1{,}38$) sehr stark. Die Brechung im Auge geschieht daher vor allem in der Hornhaut. a) Nehmen Sie an, die Gesamtheit aus Hornhaut, Augenlinse und Glaskörper sei eine homogene Kugel mit der Brechzahl 1,38, und berechnen Sie ihren Radius, wenn sie parallele Lichtstrahlen auf die Netzhaut fokussiert, die 2,50 cm hinter der Vorderseite liegt. b) Erwarten Sie, dass das Ergebnis größer oder dass es kleiner ist als der tatsächliche Krümmungsradius der Hornhaut?

1.9 Die Lupe

29.29

• Eine Linse mit der Brennweite 6,0 cm soll als Lupe dienen. Bei einem Benutzer liegt der Nahpunkt bei 25 cm und bei einem anderen bei 40 cm. a) Wie hoch ist jeweils die effektive Vergrößerung? b) Vergleichen Sie die Größen der beiden Bilder auf der Netzhaut, wenn die beiden Benutzer mit dieser Lupe denselben Gegenstand betrachten.

29.30

•• Ein Botaniker verwendet eine Konvexlinse der Brechkraft 12 dpt als Lupe und betrachtet mit ihr ein Blatt. Wie hoch ist die Winkelvergrößerung, wenn das Endbild a) im Unendlichen bzw. b) in 25 cm Abstand liegt?

1.10 Das Mikroskop

29.31

•• Das Objektiv eines Mikroskops hat die Brennweite 17,0 mm. Es erzeugt 16,0 cm von seinem zweiten Brennpunkt entfernt ein Bild. a) Wie weit vor dem Objektiv befindet sich der Gegenstand? b) Welche Vergrößerung ergibt sich für einen Betrachter, dessen Nahpunkt bei 25,0 cm liegt, wenn das Okular die Brennweite 51,0 mm hat?

29.32

••• Ein Mikroskop hat die Vergrößerung 600, und sein Okular hat die Winkelvergrößerung 15,0. Die Objektivlinse ist 22,0 cm vom Okular entfernt. Berechnen Sie a) die Brennweite des Okulars, b) den Abstand des Gegenstands vom Objektiv, wenn das Bild mit normalsichtigem, entspanntem Auge betrachtet werden kann, c) die Brennweite des Objektivs.

1.11 Das Teleskop

29.33

• Ein einfaches Teleskop hat ein Objektiv mit der Brennweite 100 cm und ein Okular mit der Brennweite 5,00 cm. Mit ihm wird der Mond betrachtet, der unter einem Winkel von etwa 9,00 mrad erscheint. a) Welchen Durchmesser hat das vom Objektiv entworfene Bild? b) Unter welchem Winkel erscheint das Endbild im Unendlichen? c) Welche Vergrößerung hat das Teleskop?

29.34

•• Der 5,10-m-Spiegel des Teleskops auf dem Mount Palomar hat eine Brennweite von 1,68 m. a) Um welchen Faktor ist seine Lichtstärke größer als die des 1,02-m-Refraktors (Linsenteleskops) im Yerkes-Observatorium? b) Wie hoch ist seine Vergrößerung, wenn die Brennweite des Okulars 1,25 cm beträgt?

29.35

•• Ein Teleskop hat für Beobachtungen von Objekten auf der Erde den Nachteil, dass es ein umgekehrtes Endbild erzeugt. Beim sogenannten Galilei-Teleskop ist die Objektivlinse eine Sammellinse (wie gewöhnlich), die Okularlinse jedoch eine Zerstreuungslinse. Das vom Objektiv entworfene Bild liegt hinter dem Okular an dessen Brennpunkt. Daher ist das Endbild virtuell sowie aufrecht und liegt im Unendlichen. a) Zeigen Sie, dass die Vergrößerung des Galilei-Teleskops $V=-f_{\mathrm{Ob}}/f_{\mathrm{Ok}}$ ist. Darin ist $f_{\mathrm{Ob}}$ die Brennweite des Objektivs und $V_{\mathrm{Ok}}$ die (hier negative) Brennweite des Okulars. b) Skizzieren Sie den Strahlengang in diesem Teleskop und zeigen Sie daran, dass das Endbild tatsächlich virtuell ist, aufrecht steht und im Unendlichen liegt.

1.12 Allgemeine Aufgaben

29.36

• Mit einer (dünnen) Sammellinse der Brennweite 10 cm wird ein Bild erzeugt, das doppelt so groß ist wie der (kleine) Gegenstand. Wie groß sind jeweils die Gegenstands- und die Bildweite, wenn das Bild a) aufrecht steht bzw. wenn es b) umgekehrt ist? Zeichnen Sie jeweils den Strahlengang.

29.37

•• Sie haben zwei Sammellinsen mit den Brennweiten 75 mm bzw. 25 mm. a) Wie müssen diese Linsen angeordnet werden, damit sie ein einfaches astronomisches Teleskop ergeben? Geben Sie an, welche Linse als Objektiv und welche als Okular dienen muss, welchen Abstand sie voneinander haben müssen und welche Winkelvergrößerung das Teleskop haben wird. b) Skizzieren Sie den Strahlengang und zeigen Sie an ihm, wie mithilfe dieses Teleskops weit entfernte Gegenstände vergrößert abgebildet werden können.

29.38

•• a) Eine dünne Linse hat in Luft die Brennweite $f_{\mathrm{L}}$. Zeigen Sie, dass für ihre Brennweite $f_{\mathrm{W}}$ in Wasser gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle f_{\mathrm{W}}=-\frac{(n_{\mathrm{W}}/n_{\mathrm{L}})\,(n-n_{\mathrm{L}})}{(n-n_{\mathrm{W}})}\,f_{\mathrm{L}}\,.\end{aligned}$$

Darin ist $n_{\mathrm{W}}$ die Brechzahl des Wassers, $n$ die des Linsenmaterials und $n_{\mathrm{L}}$ die der Luft. b) Berechnen Sie die Brennweite in Luft sowie in Wasser einer bikonkaven Linse, deren Material die Brechzahl 1,50 hat und deren Krümmungsradien 30 cm und 35 cm betragen.

29.39

••• a) Zeigen Sie, dass eine geringe Änderung ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}n$ der Brechzahl des Linsenmaterials eine geringe Änderung ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}f$ der Brennweite zur Folge hat, für die gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\displaystyle\frac{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}f}{f}\approx-\frac{{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}n}{n-n_{\mathrm{Luft}}}\,.\end{aligned}$$

b) Berechnen Sie mit dieser Beziehung die Brennweite einer dünnen Linse für blaues Licht (mit $n=1{,}530$), wenn für rotes Licht (mit $n=1{,}470$) ihre Brennweite 20,0 cm beträgt.

29.40

••• Der Abbildungsmaßstab eines sphärischen Spiegels oder einer dünnnen Linse ist $V=-b/g$. Zeigen Sie, dass sich für Gegenstände mit geringer horizontaler Ausdehnung die longitudinale Vergrößerung näherungsweise zu $-V^{2}$ ergibt. (Hinweis: Zeigen Sie, dass gilt: ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}b/{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}g=-b^{2}/g^{2}$.)