Summary
In this paper we discuss the theory of generalized Bessel functions which are of noticeable importance in the analysis of scattering processes for which the dipole approximation cannot be used. We introduce these functions in their standard form and their modified version. We state the relevant generating functions and Graf-type addition theorems. The usefulness of the results to construct a fast algorithm for their quantitative computation is also devised. We comment on the possibility of getting two-index generalized Bessel functions ine.g. the study of sum rules of the type\(\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {t^n J_n^3 (x)} \), whereJ n is the cylindrical Bessel function of the first kind. The usefulness of the results for problems of practical interest is finally commented on. It is shown that a modified Anger function can be advantageously introduced to get an almost straightforward computation of the Bernstein sum rule in the theory of ion waves.
Riassunto
In questo lavoro si discute la teoria delle funzioni di Bessel generalizzate, che assumono notevole rilevanza nell’analisi dei processi di scattering in cui non può essere utilizzata l’approssimazione di dipolo. Si introducono tali funzioni nelle loro forme standard e modificate. Vengono derivate le relative funzioni generatrici e teoremi di addizione di tipo Graf. Si commenta inoltre l’importanza dei risultati ottenuti per costruire un algoritmo numerico per il loro calcolo esplicito. Si discute inoltre la possibilità di ottenere funzioni di Bessel a due indici utili nello studio di regole di somma del tipo\(\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {t^n J_n^3 (x)} \), whereJ n è la funzione di Bessel cilindrica di primo tipo. Si analizza l’utilità dei risultati ottenuti per lo studio di problemi fisici concreti. Si dimostra infine che è possibile introdurre una funzione di Anger modificata per riottenere una derivazione immediata della regola di somma di Bernstein relativa alla teoria delle onde ioniche.
Резюме
В этой статье мы обсуждаем теорию обобщенных функций Бесселя, которые играют важную роль при анализе процессов рассеяния, для которых невозможно использовать дипольное приближение. Мы вводим эти функции в их стандартной форме и их модифицированный вариант. Мы формулируем соответствующие производящие функции и теоремы сложения типа Графа. Отмечается полезность полученных результатов для конструирования быстрого алгоритма для количественных вычислений. Мы отмечаем возможность получения обобщенных функций Бесселя с двумя индексами, например, при исследовании правия сумм типа\(\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {t^n J_n^3 (x)} \), whereJ n , чдеJ n есть цилиндрическая функция Бесселя первого рода. В заключение указывается полезность этих результатов для проблем, представляющих практический интерес. Показывается, что модифицированная функция Ангера может быть с успехом использована для непосредственного вычисления правила сумм Бернейнстейна в теории ионных волн.
Article PDF
Similar content being viewed by others
Avoid common mistakes on your manuscript.
References
H. R. Reiss:Phys. Rev. A,22, 1786 (1980).
W. Becker, R. R. Schlicher, M. O. Scully andK. Wodkiewicz:J. Opt. Soc. Am. B,4, 726 (1987).
H. R. Reiss:J. Opt. Soc. Am. B,4, 726 (1987).
R. Barbini, F. Ciocci, G. Dattoli andL. Giannessi: to be published inRiv. Nuovo Cimento and references therein.
W. B. Colson, G. Dattoli andF. Ciocci:Phys. Rev. A,31, 828 (1985).
See,e.g.,M. Abramowitz andI. A. Stegun:Handbook of Mathematical Functions, (Dover Pub. Inc., New York, N.Y., 1972).
N. N. Lebedev:Special Functions and their Applications (Dover, New York, N.Y., 1972).
N. Watson:A Treatise on the Theory of Bessel Functions (Cambridge University Press, Cambridge, 1966).
See,e.g., Higher Trascendental Functions, Vol. 2,Bateman Manuscript Project, edited byA. Ederlyi (McGraw-Hill, New York, N.Y., 1953).
G. Dattoli andA. Renieri:FEL Quantum Aspects, to be published inLaser Handbook, Vol.6, edited byW. B. Colson, C. Pellegrini andA. Renieri (North Holland Publishing Company).
W. B. Becker:Opt. Commun.,33, 69 (1980).
M. V. Berry:The Light Diffraction by Ultrasounds, (Academic Press, London and New York, N.Y., 1966).
S. Stenholm:Foundation of Laser Spectroscopy (J. Wiley and Sons, New York, N.Y., 1984).
G. Dattoli andA. Dipace:Nuovo Cimento B,87, 50 (1985);G. Dattoli, A. Dipace andA. Torre:Nuovo Cimento B,90, 85 (1985);F. Ciocci, G. Dattoli, A. Dipace andA. Torre:Nuovo Cimento B,90, 138 (1985) (and Errata).
E. Montaldi andG. Zucchelli:Nuovo Cimento B,102, 229 (1988).
Y. Ben-Arich andA. Mann:Phys. Rev. Lett.,54, 1020 (1985).
G. Dattoli, F. Orsitto andA. Torre:Phys. Rev. A,34, 2566 (1986).
A. M. Perelomov:Commun. Math. Phys.,26, 222 (1972).
G. Dattoli, M. Richetta andA. Torre:Phys. Rev. A,37, 2007 (1988).
L. S. Brown andT. W. B. Kibble:Phys. Rev. A,133, 705 (1964).
F. Ciocci, G. Dattoli, A. Renieri andA. Torre:Phys. Rep.,141, 1 (1986).
C. Leubner:Phys. Rev. A,23, 2877 (1981).
T. H. Stix:The Theory of Plasma Waves, (McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, N.Y., 1962).
I. Bernstein:Phys. Rev.,109, 10 (1958).
G. Dattoli, L. Giannessi, M. Richetta andA. Torre:Nuovo Cimento B,103, 149 (1989).
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Переведено редакцией.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Dattoli, G., Giannessi, L., Mezi, L. et al. Theory of generalized Bessel functions. Nuov Cim B 105, 327–348 (1990). https://doi.org/10.1007/BF02726105
Received:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02726105