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Acta Mathematica tome XVIII; 1894.
Ann. Scient. E. Norm. série (3) t. XXI, p. 535–556, 1904 et t. XXII, p. 101–141, 1905.
Lessolutions fondamentales que nous introduisons sont donc sans rapport direct avec lesfonctions fondamentales que considère la théorie des équations à caractéristiques imaginaires.
L'équation adjointe est toujours prise sans second membre, même si l'équation donnée en a un.
d'Adhémar, C. R. Ac. Sc. 11 février 1901. — On pourrait employer aussi la dénomination detransversale, empruntée au Calcul des Variations.
C. R. Ac. Sc., 6 avril 1891.
Encyclopädie der Math. Wiss., II 7 c.
Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 1904.
Compte rendu du 2e Congrès Internat. p. 375. — Cette relation est indiquée à nouveau dans la Thèse deM. Andrae. Göttingen 1903; p. 18.
Thèse, Paris, 1904.
On remarquera que cette valeur estnégative, pourA>0, quoique la quantité sous le signef soit positive. Autrement dit, c'est le terme complémentaire (9) qui donne son signe.
Il est clair, toutefois, qu'on suppose le changement de variable régulier enb.
Cette expression est aussi en relation évidente avec lavaleur principale deCauchy.
Coulon, Thèse, Paris, Herrman, 1902, p. 30.
La figure 4 est supposée obtenue en coupant celle que l'on a à considérer (laquelle est àn dimensions) par un plan à deux dimensions mené par le pointO.
Notre raisonnement suppose néanmoins que la surface Σ est régulière et que les dérivées (jusqu'à un ordre suffisament élevé) des par rapport aux λ sont du même ordre ques.
Chaque élément contient, il est vrai, outre une partie proportionnelle às, une partie qui contient les dérivées de cette quantité par rapport aux λ.
Bulletin de la Soc. Math. de Fr. 1900.
Voir d'Adhémar, C. R. Ac. Sc. 11 février 1901;Coulon Thèse p. 53 et suiv.
D'Adhémar, C. R. Ac. Sc. loc. cit. C. R. Ac. Sc. 11 février 1901.
VoirDarboux, Leçons sur la théorie des surfaces, tome II.
Bull. Soc. Math. Fr. 1901, p. 190 etThèse, Paris, 1904.
Cette formule, dont la démonstration repose sur la décomposition de l'intégration multiple en intégrations simples, n'est directement applicable qu'à des domaines tels queT′, et en supposant la direction de l'axe desx i intérieure au cone caractéristique (comparer plus loin, nos 30, 31). Mais on peut choisir les axes coordonnées de manière à vérifier cette dernière condition et, d'autre part, l'intégralen-1uple prise sur Σ tendant ici vers zéro, la formule s'étend à des domaines tels que queT, donc àT′.
Les deux expressions ne diffèrent que par le changement de\(\frac{{\partial v}}{{\partial x_k }}\) en\(\frac{{\partial v}}{{\partial a_k }}\) et par ce fait que les valeurs desa 2k sont prises, dans un cas, au point (x 1, x2, ..., xn), dans l'autre au point (a 1, a2, ..., an).
Le même mode de raisonnement se transporterait quoique, avec un peu plus decomplication, au cas où l'équation elle même n'est pas analytique (en supposant démontrée, du moins, l'existence de la solution fondamentale dans ce cas).
Circolo Mat. di Palermo, tome XX,27 mai 1905.
Ce raisonnement parait supposer que la surface caractéristiqueS est elle-même analytique. II n'en est rien. On peut, en effet, substituer àS une caractéristique analytiqueS′ ayant avec elle un contact d'ordre aussi élevé qu'on voudra en un point de l'axe desx, par exemple à l'origine des coordonnées. En vertu des propriétés fondamentales des caractéristiques, ce contact subsistera sur toute la bicaractéristique (ici l'axe desx) et, par conséquent, les coefficients deu et de sa dérivée dans les quantités (43), (43′) seront les mêmes surS et surS′.
Bull. Soc. Math. Fr., 1897.
Volterra, Acta Math. t. 18;dAdhémar, Thèse (Paris, 1904).
Mémoire cité des Acta Math. t. XVIII.
Volterra, loc. cit. Acta Math. t. 18; d'Adhémar, Thèse (Paris, 1904). loc. cit. no 6.
Ann. Ec. Norm. sup., loc. cit., Acta Math. t. 18; d'Adhémar, Thèse (Paris, 1904). deuxième Mémoire 1905; p. 104 et suiv.
Ann. Ec. Norm. sup., loc. cit. Acta Math. t. 18; d'Adhémar, Thèse (Paris, 1904)., deuxième Mémoire 1905, p. 170 et suiv.
Ann. Ec. Norm. sup., loc. cit., Acta Math. t 18; d'Adhémar, Thèse (Paris, 1904). p. 193.
Les notations sont celles de mon travail cité des Annales de l'Ecole Norm. sup. 1905 n° 19. J'ajoute que le calcul ainsi présenté n'est pas essentiellement distinct de celui queM. Poincaré a développé dans son mémoireSur les propriétés du potentiel et sur les fonctions abéliennes (Acta Math., t. 22; 1899, p. 114 et suiv.).
Ann. Ec. Norm. loc. cit. Sup. p. 109.
Thèse p. 58 et suiv.
Congrès International des Mathématiciens, Paris 1900.
Coulon, Thèse, Ch. III, IV.
Ann. Ec. Norm., Ier Mémoire, n° 19, p. 108–110; 1904.
La figure 6, relative au cas den=2, peut servir comme figure schématique pour le cas général.
tome 136, p. 351; 9 février 1903.
Voir la Note citée.
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Hadamard, J. Théorie des équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques et du problème de Cauchy. Acta Math. 31, 333–380 (1908). https://doi.org/10.1007/BF02415449
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02415449