Stark singuläre Gleichungen

Zusammenfassung

Zur Behandlung von Integralgleichungen 1. oder 2.Art, die einen Integraloperator T vom “Faltungstyp”

$$(Tx)(s) := \overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int}} k(s-t)x(t)dt (s \in \mathbb{R}, x \in L^2 (\mathbb{R}))$$

enthalten, wobei $k \in L^{1}(\mathbb{R})$ ist, ist die Fouriertransformation das geeignete Hilfsmittel. Ist $x \in L^{1}(\mathbb{R})$, so ist die Fouriertransformation

$$\hat{x}(s) := \frac{1}{\sqrt 2 \pi} \overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int}} e^<Emphasis Type="ItalicSmallcaps">t</Emphasis> x(t)dt (s \in \mathbb{R})$$

sinnvoll definiert. Wir benötigen die Fouriertransformation aber für x aus dem (nicht in L¹(ℝ) enthaltenen) Raum L²(ℝ). Die Definition wird formal wie oben aussehen, wobei aber das Integral als Hauptwert zu verstehen ist. Daß und wie das funktioniert, zeigt folgender Satz: Satz 9.1 (Plancherel): Sei $x \in L^{2}$. Für A>0 und $s \in \mathbb{R}$ sei

$$\widehat {{x_A}}(s): = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - A}^A {{e^{ist}}x(t)dt.}$$

Dann existiert eine Funktion $\hat{x} \in L^{2}$ so, daβ

$$\lim_{A\rightarrow +\infty} \left \| \widehat{x_A} - {\hat x}\right \|_{L^2{\mathbb{R}}} = 0$$

Ferner gilt

$$\left \| \hat{x} \right \|_{L^2{\mathbb{R}}} = \left \| {x} \right \|_{L^2{\mathbb{R}}}$$

Schlieβlich ist

$$\lim_{A\rightarrow +\infty} \left ( \frac {1}{\sqrt 2 \pi} \int_{+A}^{-A} e ^{-ist}\hat{x})(s)ds\right) = x(t)$$

wobei die Konvergenz in (9.5) in L²(ℝ) (bzgl. der Variablen t) stattfindet.