Zusammenfassung
Polynome gehören zu den einfachsten Funktionen und dennoch verblüffen sie uns mit so manch erstaunlichen Eigenschaften. Heute wollen wir Polynome in zwei Variablen über einem Körper K genauer unter die Lupe nehmen und der (erstmals in [1] beantworteten) Frage nachgehen, ob jede Funktion f : K2 → K, (x, y) ↦ f (x, y), die bei festem x ein Polynom in y und bei festem y eine Polynom in x ist, notwendig eine Polynomfunktion in den zwei Variablen x und y sein muss. Erstaunlicherweise hängt die Antwort auf diese Frage wesentlich davon ab, welchen Körper K man zugrunde legt und wir wollen stellvertretend für endliche, resp. abzählbar unendliche, resp. überabzählbar unendliche Körper die Fälle K = p, resp. K = ℚ, resp. K = ℝ untersuchen.
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Literatur
Carroll, F. W. (1961). A polynomial in each variable separately is a polynomial. The American Mathematical Monthly, 68(1), 42.
Palais, R. S. (1978). Some analogues of Hartogs’ theorem in an algebraic setting. American Journal of Mathematics, 100(2), 387–405.
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Summerer, L. (2020). Von Polynomen und solchen, die’s gern wären. In: Glaeser, G. (eds) 77-mal Mathematik für zwischendurch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-61766-3_12
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