Zusammenfassung
Wenn man, wie es später geschehen soll, die Begriffe der Krümmungstheorie der Kurven auf allgemeinere Maßbestimmungen als die Euklids übertragen will, so kann man das z. B. durch Heranziehen der Gesichtspunkte der Variationsrechnung erreichen, nämlich auf folgende Weise. Es sei (s) eine ebene oder räumliche Kurve. Wir leiten daraus eine zweite (̄) her durch den Ansatz:
wobei die ξ i (s) die Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins von () und u, v, w Funktionen von s bedeuten, die noch einen Parameter ε enthalten :
. Rückt ε → 0, so rückt die Nachbarkurve (̄) gegen (). Wir wollen die Länge der Nachbarkurve
nach Potenzen ε entwicheln. Diese Entwicklung wird die Form haben
wenn mit δ s das in ε lineare Glied bezeichnet wird:
man nennt δ s die „erste Variation“ der Bogenlänge. Doeses δ s soll zunächst berechnet werden.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Blaschke, W., Reidemeister, K. (1924). Extreme bei Kurven. In: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38408-4_2
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