Zusammenfassung
Unter einem „Homotopie“-Satz verstehen wir einen Satz, in welchem von zwei Abbildungen, die gewisse Voraussetzungen erfüllen, behauptet wird: sie sind einander homotop (Kap. VIII, § 3); unter einem „Erweiterungs”-Satz verstehen wir einen Satz, in welchem von einer Abbildung, die eine Teilmenge P 0 eines topologischen Raumes P in einen topologischen Raum Q abbildet und gewisse Voraussetzungen erfüllt, behauptet wird: sie läßt sich zu einer Abbildung von P in Q erweitern. Ohne daß systematisch eine Homotopie- und Erweiterungstheorie aufgebaut wird, werden in diesem Kapitel solche Homotopie- und Erweiterungssätze dargestellt, die sich in die Homologie-Theorie einordnen lassen. In der Homologietheorie der früheren Kapitel sind Sätze folgender Art enthalten: I. „Wenn zwei Abbildungen einander homotop sind, so sind sie einander vollständig homolog“ (Kap. VIII, § 3). II. „Wenn sich die Abbildung f des Teilpolyeders P 0 des Polyeders P in das Polyeder Q zu einer Abbildung von P in Q erweitern läßt, so hat sie notwendigerweise die folgende Eigenschaft: für jeden Zyklus δ in P 0, welcher ∿0 in P ist, ist f(δ) ∿ 0 in Q“ (denn ist δ = ℭ, ℭ ⊂ P, so ist f(δ) = f(ℭ), f(ℭ) ⊂ Q).
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Literatur
Hopf: Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen. Moskauer Math. Sammlung 1930 S. 53;
Hopf: Die Klassen der Abbildungen der n-dimensionalen Polyeder auf die n-dimensionale Sphäre. Comment math. heiv. Bd. 5 (1932) S. 39.
Brouwer: Sur la notion de „classe“ de transformations d’une multiplicité. Proc. V. Intern. Congress of Math. Cambridge 1912 II, 9;
Brouwer: Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen. Math. Ann. Bd. 82 (1921) S. 280;
Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. Bd. 96 (1927) S. 209;
Hope: Wie in § 1.
Hopf: Über die Abbildurgen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche (Anhang). Math. Ann. Bd. 104 (1931) S. 637.
Hopf-Pannwitz: Wie in Kap. VII.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Alexandroff, P., Hopf, H. (1935). Homotopie- und Erweiterungssätze für Abbildungen. In: Topologie I. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02021-0_14
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02021-0_14
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