Zusammenfassung
Während elliptische Differentialgleichungen im allgemeinen physikalischen Gleichgewichtszuständen entsprechen, werden Schwingungen und Ausbreitungsvorgänge durch hyperbolische Differentialgleichungen dargestellt — den Grenzfall der parabolischen Differentialgleichungen lassen wir hier beiseite — wobei dann als eine der beiden unabhängigen Veränderlichen die Zeit t auftritt (vgl. Kap. III, § 7).
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Referenzen
Während für zwei unabhängige Veränderliche x, t mathematisch die Rolle der beiden Veränderlichen in der Differentialgleichung nicht verschieden ist, besteht, wie wir in Kapitel VI sehen werden, für mehr Veränderliche ein grundsätzlicher Unterschied zwischen „raumartigen“ Flächen mit „raumartigen“ Koordinaten und zeitartigen Koordinaten.
Zur Literatur siehe Fußnote S. 379.
In dieser Hinsicht stellt sie ein Analogon zu der Darstellung der Lösung einer Randwertaufgabe mit Hilfe der Greenschen Funktion dar (vgl. Kap. IV, § 2, 1).
Siehe Picard: Traité d’analyse, Bd. 2.
Vgl. Anmerkung auf S. 312.
Diese Lösung verdankt man Hans Lewy (vgl. Math. Ann. Bd. 97, S. 179ff., sowie K. Friedrichs und H. Lewy: Math. Ann. Bd. 99, S. 200 ff.) Siehe auch die Darstellung bei J. Hadamard: Leçons sur le problème de Cauchy, S. 487 ff. Paris 1932.
Ein solches Differentialgleichungssystem ist auch schon früher als charakteristisches Differentialgleichungssystem studiert worden. Man hat jedoch diese Differentialgleichungen immer als gewöhnliche Differentialgleichungen aufgefaßt, indem man jeweils nur eine der charakteristischen Scharen betrachtete. Im Gegensatz zur Charakteristikentheorie bei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ergeben sich bei einer solchen Auffassung für die fünf gesuchten Funktionen zu wenig Differentialgleichungen, also ein unterbestimmtes System, so daß die Integrationstheorie dadurch nicht zum Abschluß gebracht werden könnte. Der neue von Hans Lewy eingeführte Gedanke, die beiden charakteristischen Parameter α und ßgleichzeitig als unabhängige Veränderliche einzuführen und dann die charakteristischen Differentialgleichungen als partielle Differentialgleichungen aufzufassen, liefert jedoch mit einem Schlage die genügende Anzahl von Differentialgleichungen, j a sogar ein scheinbar überbestimmtes System. In dieser Wendung liegt der entscheidende Punkt bei dem durch Hans Lewy über die klassische Theorie hinaus erzielten Wesentlichen Fortschritt.
Diese beiden letzten Gleichungen sind nichts anderes als die Aussage der gegebenen Differentialgleichung (1) längs der Charakteristiken entsprechend der allgemeinen Theorie von § 1.
Als charakteristische Gleichung des Differentialgleichungssystems würde sich übrigens nach der Methode von § 2, 3 einfach die mte Potenz dieser letzten Gleichung ergeben.
Es ist also C2 von vornherein als Integralstreifen zweiter Ordnung vorausgesetzt. Im Grunde genommen ist natürlich nur ein Streifen erster Ordnung vorgebbar; aber ähnlich wie bei erster Ordnung ist unsere jetzige Formulierung bequemer, weil sie die Diskussion der Auflösbarkeit der betreffenden Gleichungssysteme vermeidet.
Friedrichs u. Lewy: Math. Ann. Bd. 99, a. a. O.
Math. Ann. Bd. 101, S. 609ff.
Im Falle unserer Differentialgleichung könnte der Beweis im Prinzip ebenso einfach durch Anwendung potentialtheoretischer Methoden gewonnen werden. Jedoch besitzt die hier dargestellte Methode von HANS LEWY ein prinzipielles Interesse und öffnet den Zugang zu weiteren Problemen [vgl. Math. Ann. Bd. 104, S. 325 ff. — Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 37 (1935) S.417 ff. u. Bd. 41 (1937) S. 365 ff.].
Lewy: Math. Ann. Bd. 101, sowie eine Darstellung des Lewyschen Beweises bei Hadamard, 1. c.
Vgl. z. B. E. Hopf: Math. Ztschr. Bd. 34, S. 194 ff.
Diese Zwischenschaltung empfahl sich für die Darstellung, weil so die Schwierigkeit in verschiedene Stufen zerlegt wird. Prinzipiell aber stellt sie keine Verkürzung des Beweises dar.
Lewy, l. c., Hadamard, l. c. und Friedrichs-Lewy, l. c.
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Courant, R., Hilbert, D. (1968). Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. In: Methoden der Mathematischen Physik II. Heidelberger Taschenbücher, vol 31. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00844-7_5
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