Zusammenfassung
Wir wollen das allgemeine, im vorigen Kapitel bewiesene Existenz- theorem dazu verwenden, einige der wichtigsten tieferen Probleme der Funktionentheorie zu behandeln. Nach einer Untersuchung der Abelschen Integrale auf beliebigen Riemannschen Flächen wollen wir uns im zweiten Paragraphen eine genauere Vorstellung von dem Verlaufe der algebraischen Riemannschen Flächen machen, d. h. (gemäß Kap. 5, § 4) der kompakten, die ganze Kugel endlich vielfach überdeckenden Flächen. Wir werden uns dabei zunächst ausgiebig auf die räumlich geometrische Anschauung stützen. Zur Vervollständigung werden dann in einem Anhang die anschaulichen Überlegungen auf eine axiomatische Grundlage gestellt werden.1
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Literatur
Man vergleiche hierzu etwa die Bücher von Weyl (vgl. S. 383), Seifert und Threlfall bzw. Alexandroff und Hopf (vgl. S. 261).
Vgl. Fußnote 1 von S. 392.
Das durch „Verzerrung“ entstandene Gebilde ist dem ursprünglichen umkehrbar eindeutig und stetig zugeordnet.
Die folgenden Ausführungen rühren inhaltlich von Herrn van der Waerden her.
Die Aufgabe, einen Überblick über alle Abelschen Integrale einer nicht kompakten Riemannschen Fläche zu bekomrnen, ist recht verwickelt und bis heute nur teilweise gelöst. Eine ausführliche Darstellung der bekannten Resultate findet sich in A. Pfluger : Theorie der Riernannschen Flächen. Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1957.
Zu diesem Zwecke könnte man folgendermaßen vorgehen : Wir verbinden alle diejenigen (endlich vielen) Punkte der Kugel, über welchen G verzweigt ist, durch eine einfach geschlossene Kurve und schneiden alle Blätter von G längs dieser Kurve auf. Weil sowohl Außengebiet als auch Innengebiet der Kurve einfach zusammenhängend sind und keine Verzweigungspunkte erhalten, müssen auch die entsprechenden Stücke von G einfach zusammenhängend sein.
Diese Stellen dürfen zum Teil mit den ersten zusammenfallen.
Außer auf Hensel-Landsberg : Theorie der algebraischen Funktion einer Variablen (Leipzig 1902) sei noch auf W. E. Jung : Einführung in die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen (Berlin, 1923), sowie H. Behnke — F. Sommer : Theorie der analytischen Funktionen einer Veränderlichen (Berlin, 1955), verwiesen.
D. h. alle Substitutionen der Gruppe lassen sich aus den „Erzeugenden“ zusammensetzen.
Für die weiter unten angeführte Konstruktion der zu B gehörigen automorphen Funktionen ist diese Voraussetzung unwesentlich ; sogar die Voraussetzung der Schlichtheit von B darf man für diese fallen lassen.
Unter einem „Fundamentalbereich“ einer Gruppe versteht man einen Bereich, der aus jeder Schar in bezug auf die Gruppe äquivalenter Punkte (wenigstens innerhalb des betrachteten Teiles der Ebene) einen und nur einen Repräsentanten enthält.
Wenden wir nämlich die dort behandelte Deutung der linearen Substitutionen als räumliche nichteuklidische Bewegungen an, so erkennen wir, daß diese Bewegungen, f alls sie den Grenzkreis fest lassen, auch diejenige Ebene, welche aus der z-Kugel den Grenzkreis ausschneidet, in sich überführen. In dem Teile dieser Ebene, der im Innern der z-Kugel verläuft, ergibt sich eine der Bewegungsgruppe entsprechende Einteilung in geradlinig begrenzte nichteuklidisch kongruente Bereiche. Projizieren wir dieses Netz zuerst aus dem Pol der Ebene auf die z-Kugel, sodann von dieser stereographisch auf die Zahlenebene, so erhalten wir gerade die Figuren des Textes. Man kann auch bei ihnen von einer nichteuklidischen Geometrie reden, wenn man z. B. unter den „Geraden“ die Orthogonalkreise zum Grenzkreise versteht.
Vgl. jedoch auch § 5, S. 537.
Wäre sie mit C2 äquivalent, so ergäbe sich ein Widerspruch gegen die bisher gemachten Voraussetzungen.
Vgl. etwa F. Klein, Ges. math. Abh., Bd. 3, S. 713.
Als lokale Uniformisierende bezeichnen wir dabei eine Funktion t (z), die in P verschwindet und eine passende Umgebung von P umkehrbar eindeutig und konform auf eine schlichte Kreisscheibe um t = 0 abbildet. Wenn wir von der Ordnung eines Poles oder einer a-Stelle reden, so soll stets die Ordnung in t gemeint sein.
Auch bei der Definition der elliptischen Funktionen verlangt man j a ausdrücklich das Fehlen wesentlich singulärer Stellen im Periodenparallelogramm.
Eine v-fache Unendlichkeitsstelle soll dabei wie y einfache gezählt werden.
Vgl. H. Poincare : Œuvres Bd. 2, sowie die Arbeiten von Ritter : Math. Ann. in den Bden. 41 bis 47 (1893–1896) ; sodann Fricke-Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. 2.
Andernfalls würde nämlich die entstehende Fläche über dem Punkt P von G, von dem aus G kanonisch zerschnitten wurde, unendlich viele logarithmische Verzweigungspunkte aufweisen, was wir vermeiden wollen.
Daß er sich unter der Voraussetzung g > 0 wirklich unbegrenzt fortsetzen läßt, d. h. daß nicht etwa nach endlich vielen Schritten eine geschlossene Fläche entsteht, indem alle freien Ränder nach der Regel des Textes paarweise vereinigt sind, entnehmen wir unmittelbar daraus, daß die Anzahl der freien Ränder bei jeder Anheftung wächst.
Dabei brauchen die Polygone, insofern es nur auf die Zusammenhangsverhältnisse ankommt, keineswegs kongruent zu sein, sondern können sogar alle schlicht in einer Ebene untergebracht werden.
Allgemein nennt man eine über einer gegebenen Riemannschen Fläche G ausgebreitete Fläche G* dann „ Überlagerungsfläche“ von G, wenn sich jedem Punkt von G* ein über derselben Stelle liegender Punkt von G eindeutig und stetig zuordnen läßt, derart, daß eine Umgebung eines jeden Punktes von G* umkehrbar eindeutig und beiderseits stetig auf eine Umgebung des Bildpunktes in G abgebildet wird. J ede solche Überlagerungsfläche kann, wenn sie schlichtartig ist, zur Uniformisierung benutzt werden. Die von uns zugrunde gelegte gibt den übersichtlichsten Fall.
Ist S die punktierte Ebene, so folgt dies aus Kap. 4, § 3. Eine Abbildung des Einheitskreises in sich kann aber durch eine lineare Transformation in eine ebensolche Abbildung verwandelt werden, welche Nullpunkt und positive x-Richtung fest läßt; eine solche ist jedoch nach Kap. 6, § 3 die Identität.
Es sei bemerkt, daß die Gruppe der Transformationen (5) auch im Falle einfacher Periodizität eine Uniformisierung einer Fläche vom Geschlechte Null liefert. Für algebraische Funktionen vom Geschlechte Null gibt es also stets außer der Uniformisierung durch rationale Funktionen eine Uniformisierung durch eindeutige einfach periodische Funktionen.
Vgl. Kap. 7, § 2.
Vgl. S. 523.
Der Beweis dieser Behauptung folgt z. B. sofort aus Hilfssatz III in Kap. 8, § 6, wenn wir ihn auf ein Gebiet anwenden, das ganz in S liegt und den Ausgangsfundamentalbereich B in sich enthält, etwa durch Hinzufügen der sämtlichen anstoßenden Fundamentalbereiche aus ihm entsteht. Auch dieses Gebiet wird durch die betreffende Transformation noch auf eines mit beliebig kleinem Flächeninhalt abgebildet, und nun folgt aus dem Hilfssatz III, daß im ursprünglichen Fundamentalbereich die Abbildungsfunktion entsprechend der Kleinheit der Bildfläche annähernd konstant wird.
Dies rechtfertigt sich sofort, wenn wir statt der s-Ebene die s-Kugel zugrunde legen; der Existenzbereich der automorphen Funktionen ist dann das Innere eines gewissen Kreises auf der Kugel, dessen Äußeres sich im Grenzfalle auf einen Punkt zusammenziehen kann.
Die Rechtecke Q i dienen nur dazu, Hilfssatz III aus Kap. 8, § 6 anwenden zu können.
Natürlich ist diese Bedingung unwesentlich.
Ein einfacher Beweis findet sich bei S. S. Chern, An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface. Proc. Am. Math. Soc. 6, 1955. Vgl. auch R. Courant — D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik II.
P. Hartman und A. Wintner, „On uniform Dini conditions in the theory of linear partial differential equations of elliptic type“. Amer. J. Math. 77 (1955) .
R. König, „Konforme Abbildung der Oberfläche einer räumlichen Ecke“, Math. Ann. 71 (1912) .
Wir verstehen unter (Math) die Umkehrung der Abbildung t u .
Vgl. A. Garsia, „An imbedding of closed Riemann surfaces in Euclidean space“, Comm. Math. Rely. 35 (1961).
Vor allem in seiner Inaugural-Dissertation „Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe“ (Göttingen 1851), in seiner Abhandlung „Theorie der Abelschen Functionen“ (Journ. f. d. reine u. angew. Math. Bd. 54, 1857) und in seiner Habilitationsschrift „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ (Math. Werke, Leipzig, 1876). Diese Arbeiten sind wieder abgedruckt in den Gesammelten Math. Werken B. Riemanns, 2. Aufl., Leipzig 1892.
Vgl. den Bericht „Zur Vorgeschichte der automorphen Funktionen“ in Bd. 3, S. 577 bis 586 der Ges. Math. Abhandl. von F. Klein, Berlin 1923.
Aus der großen Reihe der Koebeschen Abhandlungen kommen vor allem die folgenden in Betracht: „Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven“, Abh. I bis IV, Math. Annalen Bd. 67 bis 75 (1909 bis 1914), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven“, Journ. f. d. reine u. angew. Math. Bd. 138 u. 139 (1910 u. 1911), „Allgemeine Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (konforme Abbildung und Uniformisierung)“, Acta math. Bd. 50 (1927), sowie eine Serie an verschiedenen Stellen veröffentlichter Aufsätze „Zur Theorie der konformen Abbildung“. In diesen Arbeiten ist auch vielfach andere Literatur zitiert.
Für die vorliegende Darstellung möge man folgende Arbeiten des Verfassers vergleichen: „tÜber die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung“, Math. Annalen Bd. 71 (1912), „Über die Existenztheoreme der Potential- und Funktionentheorie“, Journ. f. d. reine u. angew. Math. Bd. 144 (1914), „Über eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung“, Göttinger Nachrichten, Jahrgang 1914 und 1922.
Siehe hierzu R. Nevanlinna, „Eindeutige analytische Funktionen“, Berlin 1953, und die dort angegebenen Literaturhinweise.
Vgl. A. Pfluger, „Theorie der Riemannschen Flächen“, Berlin 1957, und L. V. Ahlfors, „The method of orthogonal decomposition for differentials on open Riemann surfaces“, Ann. Acad. Fenn. 249/7, (1958).
Vgl. z. B. K. Kodaira — D. C. Spencer, „On deformation of complex analytic structures,“ I, II, Ann. Math. 67 (1958), L. Bers, „Spaces of Riemann surfaces“, Proc. Intern. Congr. Math. 1958, Cambridge 1960, und L. V. Ahlfors, „Some remarks on Teichmüller’S space of Riemann surfaces“, Ann. Math. 74 (1960).
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Hurwitz, A. (1964). Weitere Existenztheoreme der Funktionentheorie. In: Courant, R. (eds) Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00750-1_23
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