Zusammenfassung
Das Wort Derivat stammt aus dem lateinischen derivare bzw. derivatum und bedeutet ableiten respektive abgeleitet. Dabei handelt es sich um einen Vertrag zwischen zwei Parteien, dessen Wert von einem zugrunde liegenden Basiswert bzw. Referenzwert abgeleitet wird. In Abhängigkeit vom Referenzwert spricht man unter anderem von Finanz-, Rohstoff- und Kreditderivaten. Der Basiswert eines Finanzderivats bezieht sich auf ein Finanzinstrument wie eine Aktie oder Anleihe, eine finanzielle Kennzahl (z. B. ein Zinssatz oder Aktienindex) oder eine Währung. Bei Rohstoffderivaten ist der Basiswert durch einen Rohstoff wie Gold, Silber, Erdöl oder Weizen gegeben. Im Gegensatz dazu basieren Kreditderivate auf einem Kreditereignis, das beispielsweise in der Form eines Schuldnerausfalls bei einer Anleihe oder einem Kredit auftreten kann.
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Notes
- 1.
Sklavenhändler räumten ihren Kunden das Recht ein, zu im Voraus vereinbarten Zeitpunkten Sklaven zu erwerben.
- 2.
Für die Absicherung von Aktienpreis-, Zins- und Wechselkursänderungsrisiken mit Derivaten vgl. Abschn. 15.5.
- 3.
Vgl. z. B. Eurex 2007: Aktien- und Aktienindexderivate: Handelsstrategien, S. 23.
- 4.
Vgl. Rudolph und Schäfer 2010: Derivative Finanzmarktinstrumente: Eine anwendungsbezogene Einführung in Märkte, Strategien und Bewertung, S. 33.
- 5.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, and Swaps, S. 7.
- 6.
Für die Cash-and-Carry- und Reverse-Cash-and-Carry-Arbitrage vgl. Abschn. 9.3.4.2.
- 7.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, and Swaps, S. 15.
- 8.
Vgl. Clark 2017: Issues in Corporate Finance S. 457.
- 9.
Vgl. Chambers et al. 2020: Alternative Investments CAIA Level I, S. 167.
- 10.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA® Program, S. 112.
- 11.
Vgl. Reilly und Brown 2003: Investment Analysis and Portfolio Management, S. 914.
- 12.
Vgl. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 85 f.
- 13.
Für die Preisberechnung von Futures in unvollkommenen Märkten, die beispielsweise durch Transaktionskosten, unterschiedliche Zinssätze für die Geldaufnahme und -ausleihe und Restriktionen bei Leerverkäufen geprägt sind, vgl. Mondello 2017: Finance: Theorie und Anwendungsbeispiele, S. 769 ff.
- 14.
Z. B. werden die Zinseinnahmen aus dem Gewinn von EUR 10 der Long-Gold-Future-Position am Ende des ersten Handelstages wie folgt ermittelt: (1,02)8/250 × EUR 10 – EUR 10 = EUR 0,006339. Für die verbleibenden 7 Handelstage lassen sich die Zinseinnahmen bzw. -ausgaben auf dieselbe Weise berechnen.
- 15.
Vgl. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 96 f.
- 16.
Vgl. Bösch 2014: Derivate: Verstehen, anwenden und bewerten, S. 174.
- 17.
Vgl. Bodie et al. 2009: Investments, S. 780.
- 18.
Vgl. Taylor 2011: Mastering Derivatives Markets: A Step-by-Step Guide to the Products, Applications and Risks, S. 93.
- 19.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA® Program, S. 35.
- 20.
Vgl. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 42.
- 21.
Vgl. Abschn. 15.5.2.1.
- 22.
Vgl. Reilly und Brown 2003: Investment Analysis and Portfolio Management, S. 935.
- 23.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, and Swaps, S. 263.
- 24.
Ist etwa der gehandelte Terminwechselkurs höher als derjenige basierend auf der Zinssatzparität, so ist der Währungs-Forward überbewertet und die Marktteilnehmer werden die folgenden Arbitragetransaktionen durchführen: 1) Verkauf des Währungs-Forwards auf dem Markt, 2) Kauf von 1 / (1 + rFW)T Einheiten der Fremdwährung, 3) Halten der Fremdwährungsposition und Erzielen eines Zinsertrages und 4) bei Fälligkeit des Short-Währungs-Forwards Lieferung der Fremdwährung gegen Erhalt des bei Vertragsabschluss vereinbarten Terminwechselkurses. Mit diesen Arbitragetransaktionen lässt sich ohne Risiko eine über den risikolosen Zinssatz der Inlandswährung liegende Rendite erwirtschaften. Ist hingegen der gehandelte Terminwechselkurs unterbewertet, wird der Währungs-Forward gekauft und die Fremdwährung leer verkauft, um einen risikolosen Arbitragegewinn erzielen zu können.
- 25.
Vgl. Abschn. 15.5.
- 26.
Vgl. Hull 2012: Risk Management and Financial Institutions, S. 100.
- 27.
Um die Geldströme beispielsweise eines Payer Swaps nachzubilden, kann eine festverzinsliche Anleihe mit gleichem Nominalwert wie der Swap leer verkauft werden. Dabei erhält man von der Gegenpartei des Leerverkaufs den Nominalwert ausbezahlt, der für den Kauf der variabel verzinslichen Anleihe verwendet wird. Somit heben sich zu Laufzeitbeginn der Geldeingang aus dem Leerverkauf und der Geldausgang aus dem Kauf gegenseitig auf. Bei den darauffolgenden Zinsterminen erhält man auf der Long-Position den Geldmarkt-Referenzzinssatz (z. B. EURIBOR) und bezahlt auf der Short-Position einen festen Zinssatz (Swapsatz). Am Laufzeitende bekommt man vom Emittenten der variabel verzinslichen Anleihe den Nominalwert ausbezahlt, der benutzt wird, um die festverzinsliche Schuldverschreibung auf dem Markt zu kaufen. Anschließend wird mit der erworbenen Anleihe die Position aus dem Leerverkauf geschlossen. Geldeingang und -ausgang heben sich zum Fälligkeitszeitpunkt der beiden Long- und Short-Anleihe-Positionen gegenseitig auf. Demnach lässt sich mit einer Long variabel verzinslichen Anleihe und einer Short festverzinslichen Anleihe der Cashflow-Verlauf eines Payer Swaps nachbilden. Der Cashflow-Verlauf eines Receiver Swaps hingegen kann mit einer Long festverzinslichen Anleihe und einer Short variabel verzinslichen Anleihe repliziert werden.
- 28.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA® Program, S. 290.
- 29.
Vgl. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 480 f.
- 30.
Vgl. Abschn. 8.4.4.
- 31.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 700 f.
- 32.
Vgl. Taylor 2011: Mastering Derivatives Markets: A Step-by-Step Guide to the Products, Applications and Risks, S. 199.
- 33.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA® Program, S. 295.
- 34.
Vgl. Abschn. 9.4.1.2.
- 35.
Für die Wertberechnung eines Fixed-to-Fixed-Währungsswaps mit einem Portfolio von Fremdwährungstermingeschäften vgl. z. B. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 170 ff.
- 36.
Vgl. Chance 2003: Analysis of Derivatives for the CFA® Program, S. 294 ff.
- 37.
Vgl. Watsham 1998: Futures and Options in Risk Management, S. 484.
- 38.
Vgl. Pike und Neale 1999: Corporate Finance and Investment: Decisions and Strategies, S. 334.
- 39.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, and Swaps, S. 283.
- 40.
Vgl. Clark 2017: Issues in Corporate Finance S. 459.
- 41.
Vgl. Abschn. 9.5.2.
- 42.
Vgl. Hull 2012: Risk Management and Financial Institutions, S. 100 f.
- 43.
Vgl. Bodie et al. 2009: Investments, S. 673.
- 44.
Vgl. Bodie et al. 2009: Investments, S. 674.
- 45.
Vgl. Veale 2001: Stocks Bonds Options Futures, S. 250.
- 46.
Vgl. Taylor 2011: Mastering Derivatives Markets: A Step-by-Step Guide to the Products, Applications and Risks, S. 61 f.
- 47.
Der Kauf einer Option erfolgt zum Briefkurs, während der Optionsverkauf zum Geldkurs stattfindet. Wie alle anderen Finanzinstrumente notieren Optionen zu einem Geld- und Briefkurs.
- 48.
Vgl. Reilly und Brown 2003: Investment Analysis and Portfolio Management, S. 975 f.
- 49.
- 50.
Vgl. z. B. Figlewski 1990: Basic Relationships and Basic Trading Strategies, S. 24.
- 51.
Vgl. Reilly und Brown 2003: Investment Analysis and Portfolio Management, S. 883 f.
- 52.
Nimmt der Aktienpreis zu, dann muss die Aktienrendite höher als der risikolose Zinssatz sein. Fällt hingegen der Aktienpreis, ist die Aktienrendite kleiner als der risikolose Zinssatz. Liegt beispielsweise die Rendite der Aktie dauernd über dem risikolosen Zinssatz (also u > d > 1 + rF), kann man für den Aktienkauf Geld zum risikolosen Zinssatz aufnehmen und so dauerhaft eine Überschussrendite erzielen. Unterschreitet hingegen die Aktienrendite den risikolosen Zinssatz (also d < u < 1 + rF), kann man die Aktie leerverkaufen und mit dem Verkaufserlös die risikolose Anlage kaufen, um eine Überschussrendite zu erwirtschaften. Mit der Formel wird sichergestellt, dass keine Arbitragemöglichkeit vorliegt.
- 53.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, and Swaps, S. 382.
- 54.
Wird mit einer Aktienposition und einer Call-Option eine deltaneutrale Position erstellt, so erzielt man im Ein-Perioden-Binomialmodell den risikolosen Zinssatz bzw. ergibt sich eine risikolose Anleiheposition. Also gilt folgender Zusammenhang: risikolose Long-Anleihe = Long-Aktie + Short-Call. Wenn diese Gleichung gilt, muss die Kombination aus Long-Aktie und Short-Call dieselbe Rendite aufweisen wie die risikolose Long-Anleihe, nämlich den risikolosen Zinssatz. Demnach wird der Optionspreis im Binomialmodell (wie auch im Black/Scholes-Modell) über ein Replikationsportfolio hergeleitet.
- 55.
Unterstellt man hingegen Risikoaversion, erfolgt die Wertfindung durch das Diskontieren zukünftiger Werte mit der erwarteten Rendite, die aus dem risikolosen Zinssatz und einer Risikoprämie besteht. Die Risikoprämie stellt eine Renditeentschädigung für die mit der Anlage eingegangenen Risiken dar, die durch den risikolosen Zinssatz nicht gedeckt sind.
- 56.
Die erwartete Rendite der Aktie in einer risikoneutralen Welt ist durch den risikolosen Zinssatz rF gegeben. Der erwartete Aktienpreis nach Ablauf einer Periode (Δt) ist S0(1 + rF)Δt und entspricht der Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Aktienpreise am Ende der Periode: π uS0u + (1 − πu)S0d. Wird die Gleichung S0(1 + rF)Δt = πuS0u + (1 − πu)S0d nach der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung (πu) aufgelöst, erhält man bei Δt = 1 Gl. 9.40.
- 57.
Alternativ lässt sich der Call-Preis bestimmen, indem die wahrscheinlichkeitsgewichteten Call-Preise am Fälligkeitstag auf den Bewertungszeitpunkt diskontiert werden: \( {\mathrm{c}}_0=\left({\uppi}_{\mathrm{u}}^2{\mathrm{c}}_{\mathrm{u}\mathrm{u}}+2{\uppi}_{\mathrm{u}}{\uppi}_{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{u}\mathrm{d}}+{\uppi}_{\mathrm{d}}^2{\mathrm{c}}_{\mathrm{d}\mathrm{d}}\right)/{\left(1+{\mathrm{r}}_{\mathrm{F}}\right)}^2= \) (0,522 x EUR 62,50 + 2 x 0,52 x 0,48 x EUR 0 + 0,482 x EUR 0)/(1,02)2 = EUR 16,24.
- 58.
Für die Berechnung der annualisierten Standardabweichung der stetigen Aktienpreisrenditen (historische Volatilität) vgl. Abschn. 2.2.2.1.
- 59.
Vgl. Cox et al. 1979: Option Pricing: A Simplified Approach, S. 249.
- 60.
Die erwartete Aktienrendite besteht aus der Kapital- und der Dividendenrendite. Wird von der Renditeerwartung, also dem risikolosen Zinssatz, die Dividendenrendite abgezogen, erhält man die Kapitalrendite. Der erwartete Aktienpreis nach Ablauf einer Periode (Δt) ist \( {\mathrm{S}}_0{\mathrm{e}}^{\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{F},\mathrm{s}}-\mathrm{q}\right)\;\Delta \mathrm{t}} \) und entspricht der Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Aktienpreise am Ende der Periode, die wie folgt gegeben ist: πuS0u + (1 − πu)S0d. Wird die folgende Gleichung \( {\mathrm{S}}_0{\mathrm{e}}^{\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{F},\mathrm{s}}-\mathrm{q}\right)\;\Delta \mathrm{t}}={\uppi}_{\mathrm{u}}{\mathrm{S}}_0\mathrm{u}+\left(1-{\uppi}_{\mathrm{u}}\right){\mathrm{S}}_0\mathrm{d} \) nach der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung (πu) aufgelöst, erhält man Gl. 9.45.
- 61.
Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 250 f.
- 62.
Vgl. Kolb 2000: Futures, Options, and Swaps, S. 394.
- 63.
Vgl. Black und Scholes 1972: The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency, S. 399 ff.; Black und Scholes 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, S. 637 ff.; Merton 1973: Theory of Rational Option Pricing, S. 141 ff. Für ihre Arbeiten zur Optionsbewertung haben Myron Scholes und Robert Merton 1997 den Nobelpreis erhalten. Fischer Black ist 1995 verstorben.
- 64.
Vgl. Wilmot 1998: Derivatives: The Theory and Practice of Financial Engineering, S. 75 f.
- 65.
Negative Zinssätze haben einen negativen (positiven) Einfluss auf die Höhe des Call-(Put-)Preises.
- 66.
Vgl. Abschn. 9.5.4.
- 67.
Die Dividende wird ab dem Ex-Dividendentag mit dem risikolosen Zinssatz diskontiert. Weist zum Beispiel die Option eine Laufzeit von 6 Monaten auf und der Ex-Dividendentag fällt 4 Monate nach Laufzeitbeginn an, wird die Dividende mit dem risikolosen Zinssatz über 4 Monate diskontiert.
- 68.
Vgl. Reilly und Brown 2003: Investment Analysis and Portfolio Management, S. 982 f.
- 69.
Da ln(S0e−qT/X) = ln (S0/X) − qT, kann die Standardnormalvariable d1 auch wie folgt eruiert werden: \( {\mathrm{d}}_1=\frac{\ln \left({\mathrm{S}}_0/\mathrm{X}\right)+\left({\mathrm{r}}_{\mathrm{F},\mathrm{s}}-\mathrm{q}+{\sigma}^2/2\right)\ \mathrm{T}}{\sigma \sqrt{\mathrm{T}}} \) .
- 70.
Vgl. Abschn. 15.5.1.2.
Literatur
Black, F., Scholes, M.: The valuation of option contracts and a test of market efficiency. J. Financ. 27(2), 399–417 (1972)
Black, F., Scholes, M.: The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Econ. 81(3), 637–654 (1973)
Bodie, Z., Kane, A., Marcus, A.J.: Investments, 8. Aufl. Boston (2009)
Bösch, M.: Derivate: Verstehen, anwenden und bewerten, 3. Aufl. München (2014)
Chambers, D.R., Anson, M.J.P., Black, K.H., Kazemi, H.B.: Alternative Investments CAIA Level I, 4. Aufl. Hoboken (2020)
Chance, D.M.: Analysis of Derivatives for the CFA® Program, Charlottesville (2003)
Clark, P.J.: Issues in Corporate Finance, Harlow (2017)
Cox, J.C., Ross, S.A., Rubinstein, M.: Option pricing: a simplified approach. J. Financ. Econ. 7(3), 229–263 (1979)
Eurex: Aktien- und Aktienindexderivate: Handelsstrategien, Eschborn/Zürich (2007)
Figlewski, S.: Basic relationships and basic trading strategies. In: Figlewski, S., Silber, W.L., Subrahmanyam, M.G. (Hrsg.) Financial Options: From Theory to Practice, S. 20–76, New York (1990)
Hull, J.C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 6. Aufl. Upper Saddle River (2006)
Hull, J.C.: Risk Management and Financial Institutions, 3. Aufl. Hoboken (2012)
Kolb, R.W.: Futures, Options, and Swaps, 3. Aufl. Malden/Oxford (2000)
Merton, R.C.: Theory of Rational Option Pricing. Bell J. Econ. Manag. Sci. 4(1), 141–183 (1973)
Mondello, E.: Finance: Theorie und Anwendungsbeispiele, Wiesbaden (2017)
Pike, R., Neale, B.: Corporate Finance and Investment: Decisions and Strategies, 3. Aufl. Harlow (1999)
Reilly, F.K., Brown, K.C.: Investment Analysis and Portfolio Management, 7. Aufl. Mason (2003)
Rudolph, B., Schäfer, K.: Derivative Finanzmarktinstrumente: Eine anwendungsbezogene Einführung in Märkte, Strategien und Bewertung, 2. Aufl. Heidelberg (2010)
Taylor, F.: Mastering Derivatives Markets: A Step-by-Step Guide to the Products, Applications and Risks, 4. Aufl. Harlow (2011)
Veale, S.R.: Stocks Bonds Options Futures, 2. Aufl. New York (2001)
Watsham, T.J.: Futures and Options in Risk Management, 2. Aufl. London (1998)
Wilmot, P.: Derivatives: The Theory and Practice of Financial Engineering, Chichester (1998)
Online-Quellen
Eurex: Märkte Aktienoptionen. www.eurexchange.com (2017). Zugegriffen am 29.12.2017
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Appendices
Microsoft-Excel-Applikationen
-
Damit die Wahrscheinlichkeit (Fläche) aus einer Standardnormalverteilung bestimmt werden kann, ist die Standardnormalvariable erforderlich. So etwa lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert gleich oder kleiner als die Standardnormalvariable Z ist, wie folgt berechnen:
= Standnormvert(Z).
Anschließend ist die Enter-Taste zu drücken.
-
Im Folgenden wird gezeigt, wie Excel verwendet werden kann, um den Preis eines Calls und eines Puts mithilfe des Black/Scholes-Modells zu berechnen. So zum Beispiel sind in den Zellen B1 bis B5 die Bewertungsparameter wie der Aktienkurs, der Ausübungspreis, die Volatilität, die Optionslaufzeit in Jahren und der risikolose Zinssatz einzugeben. In der Zelle B7 kann die Formel für die Berechnung der Standardnormalvariable d1 erfasst werden:
=(LN(B1/B2)+(B5+B3^2/2)*B4)/(B3*B4^0.5).
-
In der Zelle B8 wird folgende Formel für die Bestimmung der Standardnormalvariable d2 aufgeführt:
=B7-B3*B4^0.5.
-
In der Zelle B9 kann die Fläche der Standardnormalverteilung N(d1) wie folgt eruiert werden: =Standnormvert(B7). In der Zelle B10 ist die Fläche der Standardnormalverteilung N(d2) mit folgendem Formelausdruck zu ermitteln: =Standnormvert(B8). Um den Preis einer Put-Option zu berechnen, sind in den Zellen B11 und B12 die Formeln für 1 − N(d1) und 1 − N(d2) zu erfassen. Der Diskontfaktor der Black/Scholes-Formel von \( {e}^{-{r}_{Fs}T} \) lässt sich in Zelle B13 mit dem Formelausdruck =Exp(-B5*B4) festlegen. Die Formeln zur Berechnung des Call-Preises und des Put-Preises in den Zellen B14 und B15 lauten wie folgt:
=B1*B9-B2*B13*B10
und
= B2*B13*B12-B1*B11.
Abb. 9.18 zeigt für das Black/Scholes-Modell die Excel-Maske mit den entsprechenden Formeln und die Berechnung des Call- und des Put-Preises bei einem Aktienpreis von 100, einem Ausübungspreis von 90, einer Volatilität von 30 %, einer Optionslaufzeit von 0,75 Jahren und einem Zinssatz von 1 %.
Black/Scholes-Modell in Excel. (Quelle: Eigene Darstellung)
Ist Excel auf Englisch eingestellt, gelten die folgenden Notationen:
Standnormvert = Normsdist.
Anhang A: Standardnormalverteilungstabelle
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Mondello, E. (2022). Derivate. In: Corporate Finance. Springer Gabler, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-34408-5_9
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