Erwartete Rendite und Risiko

Zusammenfassung

Mit einem Rendite-Risiko-Modell lässt sich mithilfe des Risikos einer Anlage deren erwartete Rendite bestimmen. Die so berechnete Rendite kann als Hurdle Rate für die Analyse eines Projekts eingesetzt werden. Überschreitet (unterschreitet) die erwartete Rendite des Projekts die geforderte risikoadäquate Rendite des Modells, wird es durchgeführt (abgelehnt).

Microsoft-Excel-Applikationen

• Um die Euler’sche Zahl in Microsoft Excel zu berechnen, ist die Funktion „EXP“ zu verwenden. Wird

$$ = EXP(1) $$

in eine Zelle eingegeben und wird anschließend die Enter-Taste gedrückt, erhält man die Euler’sche Zahl von 2,71828183. Auf die gleiche Weise lässt sich jeder Wert mit der Exponentialfunktion finden, der mit dem Wert „e“ (2,71828…) hoch einer beliebigen Zahl x gerechnet wird:

$$ =\mathrm{EXP}\left(\mathrm{x}\right). $$

• Der natürliche Logarithmus lässt sich mit der „LN“-Funktion ermitteln. So etwa kann der natürliche Logarithmus von 1 bestimmt werden, indem

$$ =\mathrm{LN}(1) $$

in eine Zelle geschrieben und anschließend mit der Enter-Taste bestätigt wird. Das Ergebnis ist 0. Allgemein lässt sich der natürliche Logarithmus einer positiven Zahl x wie folgt eruieren:

$$ =\mathrm{LN}\left(\mathrm{x}\right). $$

• Die Berechnung der arithmetischen und der geometrischen Rendite in Excel ist relativ einfach. Sind zum Beispiel 10 Renditen in den Zellen A1 bis A10 aufgeführt, so lässt sich die arithmetische Rendite ermitteln, indem etwa in Zelle A11

$$ =\mathrm{Mittelwert}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}10\right) $$

erfasst und danach die Enter-Taste betätigt wird.

Damit das geometrische Mittel bestimmt werden kann, ist beispielsweise in Zelle A12

$$ =\mathrm{Geomittel}\left(1+\mathrm{A}1:\mathrm{A}10\right)\hbox{--} 1 $$

einzugeben und dann mit der Tastenkombination Ctrl+Shift+Enter zu bestätigen. Diese drei Tasten müssen gleichzeitig gedrückt werden. Wird nur die Enter-Taste betätigt, erhält man eine Fehlermeldung. Abb. 2.11 zeigt die Berechnung der arithmetischen und der geometrischen Rendite.

Abb. 2.11

Berechnung der arithmetischen und der geometrischen Rendite in Excel. (Quelle: Eigene Darstellung)

• Um die Wurzel aus einer Zahl x in Excel zu ermitteln, ist folgender Ausdruck in eine Zelle zu schreiben und danach die Enter-Taste zu drücken:

$$ =\mathrm{Wurzel}\left(\mathrm{x}\right). $$

• Damit die Varianz und die Standardabweichung eruiert werden können, sind zunächst die Renditen etwa in die Zellen A1 bis A12 einzufügen.

Die Varianz und die Standardabweichung einer Grundgesamtheit, bei der die Summe der quadrierten Renditeabweichungen durch T dividiert wird, ergeben sich anhand der folgenden Ausdrücke, die zum Beispiel in die Zellen A13 und A14 eingetragen werden:

$$ =\mathrm{Varianzen}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12\right), $$

$$ =\mathrm{Stabwn}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12\right). $$

Anschließend wird die Eingabe mit der Enter-Taste abgeschlossen.

Bei der Varianz und der Standardabweichung einer Stichprobe wird die Summe der quadrierten Renditeabweichungen durch T – 1 dividiert. Um diese beiden Größen zu berechnen, werden etwa in die Zellen A15 und A16 folgende Notationen geschrieben und danach mit der Enter-Taste bestätigt:

$$ =\mathrm{Varianz}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12\right), $$

$$ =\mathrm{Stabw}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12\right). $$

Abb. 2.12 zeigt die Berechnung der Varianz und Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe).

Abb. 2.12

Berechnung der Varianz und Standardabweichung (Grundgesamtheit und Stichprobe) in Excel. (Quelle: Eigene Darstellung)

• Um die Schiefe einer Renditeverteilung (für eine Stichprobe) zu berechnen, sind zunächst die Renditen beispielsweise in die Zellen A1 bis A12 einzugeben. In eine leere Zelle wird folgender Ausdruck geschrieben:

$$ =\mathrm{Schiefe}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12\right) $$

und anschließend mit der Enter-Taste bestätigt.

• Microsoft Excel berechnet die Kurtosis anhand der Excess-Kurtosis (für eine Stichprobe). Sind die Renditen etwa in den Zellen A1 bis A12 aufgeführt, so kann in eine leere Zelle folgender Ausdruck eingegeben werden:

$$ =\mathrm{Kurt}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12\right). $$

Danach ist die Enter-Taste zu drücken.

• Bisher wurden die einzelnen statistischen Kennzahlen wie Mittelwert, Standardabweichung, Schiefe und Excess-Kurtosis separat bestimmt. In Microsoft Excel ist es auch möglich, eine zusammenfassende Datenausgabe dieser Größen zu erstellen. Dabei sind die folgenden Schritte erforderlich:

  • 1. Es ist der Reiter „Daten“ anzuklicken.

  • 2. Anschließend ist die „Datenanalyse“ anzutippen.

  • 3. Dabei öffnet sich ein Fenster, wobei die Funktion „Populationskenngrößen“ auszuwählen ist.

  • 4. Im offenen Dialogfenster sind die Renditen im „Eingabebereich“ einzugeben (z. B. A1:A12). Danach ist der „Ausgabebereich“ anzuklicken, in der eine Zelle definiert wird (z. B. A13), in welcher die zusammenfassende Datenausgabe erscheinen soll. Schließlich ist bei den „Statistischen Kenngrößen“ ein Häkchen zu setzen und mit der OK-Taste zu bestätigen.

• Um die Kovarianz (Grundgesamtheit) zwischen den Renditen von zwei Anlagen zu berechnen, sind zunächst die Renditen der ersten Anlage etwa in die Zellen A1 bis A12 und die Renditen der zweiten Anlage in die Zellen B1 bis B12 einzugeben. Danach ist folgender Ausdruck in einer freien Zelle zu schreiben

$$ =\mathrm{Kovar}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12;\mathrm{B}1:\mathrm{B}12\right) $$

und anschließend mit der Enter-Taste zu bestätigen.

• Der Korrelationskoeffizient (Stichprobe) lässt sich mit den gleichen Renditen wie oben wie folgt berechnen:

$$ =\mathrm{Korrel}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}12;\mathrm{B}1:\mathrm{B}12\right). $$

Der Ausdruck ist mit der Enter-Taste abzuschließen.

• Die Durchführung einer linearen Regressionsanalyse ist in Microsoft Excel ohne Weiteres möglich, obwohl es auf dem Markt vollständigere und besser entwickelte Softwarelösungen gibt. So zum Beispiel liegen für drei Zeitreihen je 60 Renditebeobachtungen in den Zellen A1 bis A60, B1 bis B60 und C1 bis C60 vor. Bei der ersten Spalte A handelt es sich um die monatlichen Renditewerte für die abhängige Variable, während die anderen beiden Spalten B und C die entsprechenden Werte für die beiden unabhängigen Variablen enthalten. Um die Dialogbox zu öffnen, ist zunächst die Registerkarte „Daten“ anzuklicken und anschließend „Datenanalyse“ auszuwählen. Von den erscheinenden Analyse-Funktionen ist „Regression“ auszusuchen und danach mit „OK“ zu bestätigen. Nun erscheint die Dialogbox für die Regression.

• Die einfache lineare Regression mit einer unabhängigen Variablen kann wie folgt vorgenommen werden:

  • In der Regression-Dialogbox sind beim „Y-Eingabebereich“ die monatlichen Renditen der abhängigen Variablen (A1:A60) einzugeben.

  • Nachher ist der „X-Eingabebereich“ anzuklicken und es sind die monatlichen Renditen der unabhängigen Variablen (B1:B60) zu erfassen.

  • Schließlich ist der „Ausgabebereich“ anzuklicken und in dem vorgesehenen Fenster eine freie Zelle anzugeben, bei der die Ausgabe der Regression erscheinen soll. Dabei ist zu beachten, dass sich die Ausgabe über mehrere Zellen (9 Spalten und 18 Zeilen) erstreckt. Damit die Ausgabe angezeigt wird, ist in der Dialogbox „OK“ zu drücken.

• Die multiple lineare Regression mit mehr als einer unabhängigen Variablen erfolgt mit Ausnahme eines einzigen Schritts gleich wie die einfache lineare Regression. Beim „X-Eingabebereich“ werden nicht die Zellen einer unabhängigen Variablen, sondern sämtlicher unabhängiger Variablen eingegeben. So etwa sind bei zwei unabhängigen Variablen die Zellen B1 bis B60 und C1 bis C60 zu erfassen (also B1:C60).

• Der Regressionskoeffizient einer einfachen linearen Regressionsanalyse (z. B. das Beta einer Aktie beim CAPM) lässt sich in Excel über eine Abkürzung berechnen. Dabei wird in eine freie Zelle folgender Ausdruck geschrieben:

$$ =\mathrm{RGP}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}60;\mathrm{B}1:\mathrm{B}60\right) $$

und anschließend mit der Enter-Taste bestätigt.

• Ebenso lassen sich die Regressionskoeffizienten einer multiplen linearen Regressionsanalyse mit der Funktion „RGP“ berechnen. So etwa befinden sich in den Zellen A1 bis A60 die Renditebeobachtungen für die abhängige Variable, während die Zellen B1 bis B60 und C1 bis C60 die entsprechenden Daten für die beiden unabhängigen Variablen enthalten. Um die Regressionskoeffizienten der zwei unabhängigen Variablen zu berechnen, sind beispielsweise die beiden freien Zellen B61 und C61 zu markieren. Danach ist folgender Ausdruck zu erfassen:

$$ =\mathrm{RGP}\left(\mathrm{A}1:\mathrm{A}60;\mathrm{B}1:\mathrm{C}60\right) $$

und mit dem gleichzeitigen Drücken der Tastenkombination Ctrl+Shift+Enter abzuschließen.

Hierbei ist zu beachten, dass Microsoft Excel die Regressionskoeffizienten in der umgekehrten Reihenfolge wiedergibt. Daher befindet sich der Regressionskoeffizient für die unabhängige Variable der Spalte C (B) in der Zelle B61 (C61).

• Um die Regressionsgerade aus der einfachen linearen Regressionsanalyse im Streudiagramm zu erstellen, sind die Renditen der abhängigen und der unabhängigen Variablen mit der linken Maustaste zu markieren. Dann ist die Registerkarte „Einfügen“ und nachher „Punkt“ anzuklicken. In den „Diagrammlayouts“ ist die entsprechende Darstellung mit der linearen Trendlinie auszuwählen. Allerdings erscheinen die „Diagrammlayouts“ nur, wenn das Streudiagramm angeklickt ist.

Ist Excel auf Englisch eingestellt, gelten die folgenden Notationen:

• Ausgabebereich = Output Range,

• Daten = Data,

• Datenanalyse = Data Analysis,

• Eingabebereich = Input Range,

• Geomittel = Geomean,

• Korrel = Correl,

• Kovar = Covar,

• Kurt = Kurt,

• Mittelwert = Average,

• Populationskenngrößen = Descriptive Statistics,

• RGP = Linest,

• Schiefe = Skew,

• Stabw = Stdev,

• Stabwn = Stdevp,

• Statistische Kenngrößen = Summary Statistics,

• Varianz = Var,

• Varianzen = Varp,

• Wurzel = Sqrt,

• X-Eingabebereich = Input X Rage,

• Y-Eingabereich = Input Y Range.