Zusammenfassung
Reibungseffekte treten bei Strömungen hoher Reynolds-Zahlen nur in einem wandnahen Bereich auf und können deshalb im Sinne der Grenzschichttheorie in einem ersten Schritt vernachlässigt werden. Die dann aufzustellenden Gleichungen für eine vollständige reibungsfreie Strömung können aber die Haftbedingung an der Körperoberfläche nicht erfüllen, sondern unterliegen nur der ersten der beiden in Abschn. 3.3.1 definierten Strömungsrandbedingungen, der sogenannten kinematischen Randbedingung (in der Regel: keine Durchströmung einer undurchlässigen Wand). Wie später genauer erläutert wird, sind reibungsfreie Strömungen nicht per se drehungsfrei (eine Eigenschaft, die im vorigen Kapitel für die Außenströmung im Zusammenhang mit der Grenzschichttheorie postuliert worden war). Drehungsfreie Strömungen stellen vielmehr einen (wichtigen) Sonderfall reibungsfreier Strömungen dar, der in Abschn. 13.3 behandelt wird. Zuvor sollen die allgemeinen Grundgleichungen für reibungsfreie Strömungen bereitgestellt werden.
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Notes
- 1.
Diese Aussage trifft allerdings auf Durchströmungen mit großen Lauflängen, wie z. B. der Rohrströmung, nicht zu, so dass diese Strömungen in einem späteren Kapitel (Kap. 15) gesondert betrachtet werden.
- 2.
Diese Grundprinzipien sind nicht „beweisbar“ und auch nicht aus übergeordneten Prinzipien abzuleiten. Sie sind in diesem Sinne nicht zu verifizieren, könnten aber in ihrer postulierten Allgemeingültigkeit durch ein „Gegenbeispiel“ falsifiziert werden, s. dazu auch: Popper, K.R. (1984): Logik der Forschung, Mohr-Verlag.
- 3.
Der Impuls ist dann eine Erhaltungsgröße, wenn nicht nur das System, sondern zusätzlich auch die Umgebung betrachtet wird. In dieser wirken Reaktionskräfte \(\-\vec{F}_{i}\), so dass de facto nur Impuls mit der Umgebung ausgetauscht wird und der Gesamtimpuls (System + Umgebung) erhalten bleibt.
- 4.
Gelegentlich werden diese formal durch \(\mathrm{D}\ldots/\mathrm{D}t\) ersetzt. Dies ist dann aber nur ein Platzhalter für die Summe aus den lokalen und konvektiven Ableitungen.
- 5.
Die Erweiterung auf dreidimensionale Modellgleichungen ist ohne weiteres möglich, unterbleibt hier aber, weil die wesentlichen Aussagen auch für ebene (2D) Strömungen getroffen werden können. Für Details der Herleitung s. z. B. Herwig, H.; Schmandt, B. (2015): Strömungsmechanik, 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Kap. 4 und Kap. 8.
- 6.
Siehe dazu z. B. Ferziger, J. H.; Peric, J. (2002): Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, Berlin.
- 7.
In einem Koordinatensystem, in dem die x-Koordinate in Richtung von \(\vec{g}\) weist gilt \(g_{x}=g\). Für \(u=0,\,v=0\) reduziert sich das System (13.8)–(13.10) auf die Aussage \(\partial p_{\mathrm{mod}}/\partial x=0\) bzw. \(\varrho g={\partial p}/{\partial x}\). Daraus folgt \(\mathrm{d}p=\varrho g\mathrm{d}x\) bzw. \(p=p_{0}+\varrho gx\) mit \(p_{0}=p(x=0)\), vgl. (4.1) mit h anstelle von x.
- 8.
Da eine Funktion \(\Psi(x,y,z)=\mathrm{const}\) in einem dreidimensionalen Feld eine Ebene beschreibt, erfordert die Ermittlung des Stromlinienverlaufes bei dreidimensionalen Strömungen die Bestimmung von zwei Stromfunktionen \(\Psi_{I}\) und \(\Psi_{II}\). Stromlinien sind dann die Schnittlinien der Flächen \(\Psi_{I}=\mathrm{const}\) und \(\Psi_{II}=\mathrm{const}\).
- 9.
Bei kompressiblen Strömungen lautet die entsprechende Definition z. B. in kartesischen Koordinaten \(\varrho u=\partial\widehat{\Psi}/\partial y\) und \(\varrho v=-\partial\widehat{\Psi}/\partial x\).
- 10.
Streng genommen gilt dies nur für Strömungen mit konstanter Dichte (die hier betrachtet werden), da eine Dichteschichtung im Fluid zur Entstehung von Drehung im Feld führen kann, wie dies z. B. bei geophysikalischen Strömungen der Fall ist.
- 11.
\(\mathrm{d}\Phi={\partial\Phi}/{\partial x}\mathrm{d}x+{\partial\Phi}/{\partial y}\mathrm{d}y\) ist dann und nur dann ein vollständiges Differential, wenn \({\partial^{2}\Phi}/{\partial x\partial y}={\partial^{2}\Phi}/{\partial y\partial x}\) gilt. Daraus folgt mit (13.16) \({\partial v}/{\partial x}={\partial u}/{\partial y}\), also \(\omega=0\). Die Existenz eines vollständigen Differentials wiederum ist die notwendige Voraussetzung dafür, dass Φ eine Zustandsgröße ist, die durch Integration auf beliebigen Integrationswegen bestimmt werden kann.
- 12.
Aus mathematischer Sicht handelt es sich um elliptische Differentialgleichungen, die in Gebieten mit geschlossenen Rändern gelöst werden können, wenn auf diesen entweder der Funktionswert selbst (Dirichletsche Randbedingungen) oder seine Normalenableitung (Neumannsche Randbedingungen) bekannt ist.
- 13.
Eine Kraft senkrecht dazu wäre eine Auftriebskraft, s. dazu das spätere Kap. 17.
- 14.
Diese Aussage gilt nicht für die Auftriebskraft, weil diese per Definition senkrecht zur Anströmung wirkt und damit ihr Angriffspunkt nicht verschoben wird.
- 15.
Bei der dreidimensionalen Umströmung von Körpern kann es zu sogenannten Randwirbeln durch einen Druckausgleich kommen. Solche Wirbel reichen in reibungsloser Strömung bis ins Unendliche und führen dann zu einem Widerstand, dem sogenannten induzierten Widerstand.
- 16.
Es gilt mit der Breite B: \(F_{A}/B=-\varrho u_{\infty}\Gamma\), was als Kutta-Joukowsky-Theorem bekannt ist.
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Herwig, H. (2016). Reibungsfreie Umströmung von Körperoberflächen. In: Strömungsmechanik. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-12982-8_13
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-12982-8_13
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Publisher Name: Springer Vieweg, Wiesbaden
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Online ISBN: 978-3-658-12982-8
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