Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Lineare Randwert- oder Anfangsrandwertprobleme sind oft Idealisierungen nichtlinearer Probleme. Bei der Wärmeleitung hängen die Wärmeleitkoeffizienten zumindest bei höheren Temperaturen von der Temperatur selbst ab oder es treten Wärmestrahlungseffekte auf. Ähnliche Nichtlinearitäten werden in der Festkörpermechanik und in der Elektrotechnik beobachtet (vgl. Kapitel 1 und 2). In ferromagnetischen Materialien hängt die Permeabilität von der magnetischen Induktion ab. Festkörpermechanische Probleme können sowohl stoffliche als auch geometrische Nichtlinearitäten aufweisen. Im Abschnitt 6.1 zeigen wir, dass die Variationsformulierung von nichtlinearen Randwertaufgaben zu nichtlinearen Variationsproblemen führt, die den Ausgangspunkt für die Finite-Elemente-Diskretisierung bilden. Das technische Vorgehen ist dabei völlig analog zum linearen Fall. welchen wir in den Kapiteln 3 und 4 ausführlich diskutiert haben. Die erhaltenen FE-Gleichungen stellen algebraisch gesehen jetzt allerdings ein großdimensioniertes, nichtlineares Gleichungssystem dar. Dieses Gleichungssystem ist iterativ zu lösen. Der Banachsche Fixpunktsatz gibt dazu das theoretische und praktische Rüstzeug.