FEM für mehrdimensionale Randwertprobleme 2. Ordnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden FE-Diskretisierungen im räumlich mehrdimensionalen Fall behandelt. Zuerst geben wir ein Modellbeispiel an, anhand dessen im Folgenden die Schritte bei einer FE-Diskretisierung erläutert werden. Danach stellen wir einige mathematische Grundlagen bereit, welche wir bei der Herleitung der Variationsformulierung von Randwertproblemen benötigen. Außerdem sind diese Grundlagen notwendig, um die Frage der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines Randwertproblems in Variationsformulierung zu diskutieren. Im Abschnitt 4.3 leiten wir die Variationsformulierung für stationäre Wärmeleitprobleme sowie lineare Elastizitätsprobleme her und untersuchen die Existenz und Eindeutig der Lösung der entsprechenden Randwertprobleme in Variationsformulierung. Weiterhin formulieren wir die betrachteten Randwertprobleme als Minimumprobleme. Das Galerkin- und das Ritz-Verfahren sind zwei allgemeine Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Randwertproblemen in Variationsformulierung bzw. in Form eines Minimumproblems. Mit diesen beiden Verfahren beschäftigen wir uns im Abschnitt 4.4. Wir werden sehen, dass die Methode der finiten Elemente als ein spezielles Galerkin bzw. Ritz-Verfahren angesehen werden kann. Den Hauptinhalt dieses Kapitels bildet der Abschnitt 4.5, in welchem wir ausführlich die Schritte einer FE-Diskretisierung von Randwertproblemen in zwei- und dreidimensionalen Gebieten diskutieren.