Die p-adischen Zahlen

Zusammenfassung

Die p-adischen Zahlen wurden Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von dem deutschen Mathematiker Kurt Hensel (1861–1941) erfunden, und zwar in der Absicht, die machtvolle Methode der Potenzreihenentwicklung, welche in der Funktionentheorie eine so beherrschende Rolle spielt, auch der Zahlentheorie zur Verfügung zu stellen. Der Gedanke entsprang der Beobachtung, daß sich die Zahlen ganz ähnlich wie die Funktionen verhalten und in einem gewissen Sinne auch als Funktionen auf einem topologischen Raum aufgefaßt werden können. Um dies zu erläutern, gehen wir aus von den Polynomen

$$ f(z) = {a_0} + {a_1}z + \cdots + {a_n}{z^n} $$

mit komplexen Koeffizienten a _i ∈ℂ, die wir in direkter Weise als Funktionen auf der komplexen Zahlenebene ansehen können. Dieses Charakteristikum läßt sich rein algebraisch wie folgt formulieren. Sei a ∈ℂ ein Punkt der komplexen Zahlenebene. Die Gesamtheit aller Funktionen f(z) im Polynomring ℂ[z], die im Punkt a verschwinden, bilden das maximale Primideal

$$ \rho = (z - a) = \left\{ {(z - a)g(z)\left| {g(z) \in \mathbb{C}\left[ z \right]} \right.} \right\} $$

von ℂ[z]. Die Punkte a der komplexen Zahlenebene entsprechen auf diese Weise umkehrbar eindeutig den maximalen Idealen p von ℂ[z], deren Gesamtheit wir mit

$$ X = Max\left( {\mathbb{C}\left[ z \right]} \right) $$

bezeichnen.