Zusammenfassung
Die bisherige Form des logischen Kalküls ist zur präzisen Darstellung derjenigen logischen Zusammenhänge ausreichend, bei denen die Aussagen als ungetrenntes Ganzes betrachtet werden. Jedoch ist keine Rede davon, daß wir mit dem Aussagenkalkül für die Zwecke der Logik überhaupt auskommen. Zum Beispiel ist sicher das folgende ein Satz, dessen Richtigkeit sich aus rein logischen Gründen ergibt: „Wenn der Löwe ein Raubtier ist und wenn Raubtiere Fleisch fressen, so frißt der Löwe Fleisch.“ Ein anderes Beispiel für einen derartigen Satz wäre: „Wenn die ungeraden Primzahlen alle natürlichen Zahlen umfassen, und wenn eine ungerade Zahl eine natürliche Zahl ist und wenn eine Primzahl eine natürliche Zahl ist, so umfassen die ungeraden Zahlen alle natürlichen Zahlen und umfassen die Primzahlen alle natürlichen Zahlen.“ Würden wir hier „der Löwe ist ein Raubtier“ durch „Ф“, „Raubtiere fressen Fleisch“ durch „Ψ “ und „der Löwe frißt Fleisch“ durch „Γ“ abkürzen, so ließe sich zwar der erste Satz in der Form „Ф ∧ Ψ → Γ“ wiedergeben. Aber das nützt uns nichts, um den logischen Charakter der Aussage zu erkennen, da „Ф ∧ Ψ → Γ“ keine (aussagentheoretische) Tautologie ist, d. h. nicht durch Einsetzung aus einer allgemeingültigen Formel des Aussagenkalküls entsteht. Entsprechend würde sich, falls „Ф“, „Ψ“, „Γ“, „Δ“, „Θ“ die Einzelsätze bezeichnen, sich der zweite Satz durch „Ф ∧ Ψ ∧ Γ → Δ ∧ Θ“ wiedergeben lassen, ohne daß uns das zu einer Einsicht in seinen logischen Charakter verhilft.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Behmann, H.: Beiträge zur Algebra der Logik und zum Entscheidungsproblem. Math. Ann. 86 (1922).
Boole, G.: Laws of thought (1854). Neudruck New York 1954.
Löwenheim, L.: Über Möglichkeiten im Relativkalkül. Math. Ann. 76 (1915).
Schröder, E. : Vorlesungen über die Algebra der Logik (Exakte Logik). III Bände. Leipzig 1890/95.
Skolem, TH.: Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über Produktations- und Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffen. Vidensk. Skr., Mat.-Nat. Kl. Nr. 3, Kristiania 1919.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1959 Springer-Verlag OHG
About this chapter
Cite this chapter
Hilbert, D., Ackermann, W. (1959). Der Klassenkalkül. In: Grundzüge der Theoretischen Logik. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 27. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-65400-8_3
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-65400-8_3
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-65401-5
Online ISBN: 978-3-642-65400-8
eBook Packages: Springer Book Archive