Zugstab und Fachwerk

Zusammenfassung

Einer der Gründe für die große Verbreitung der FEM liegt darin, daß es dieses Berechnungsverfahren ermöglicht, komplexe Strukturen mit standardisierten Verfahren zu untersuchen. Daß der Anwender während der Untersuchung das zu untersuchende Bauteil vor sich am Bildschirm sieht, er nicht wie bei den klassischen Verfahren einen Satz von abstrakten Gleichungen zu verstehen hat, steigert die breite Akzeptanz bei den Benutzern noch mehr. Wie anhand des eingespannten Blechs unter Last in Kap. 2 demonstriert, bilden wir ein auf einem Kontinuum vorliegendes Problem auf eine diskrete Fragestellung ab. Das Lösen des diskreten Systems, welches als Näherung des kontinuierlichen dient, stellt in den meisten Fällen eine Aufgabe dar, welche die Handhabung von Matrizen erfordert. Diese Matrizen sind, verglichen mit den Matrizen, die wir noch ohne Rechnereinsatz bearbeiten können, meist sehr groß. Schon bei der Untersuchung des Netzes des eingespannten Blechs in Abb. 2.12 ist bei der vorgeschlagenen Einteilung mit 7×9 Knoten mit je 2 Freiheitsgraden an jedem Knoten eine Matrix der Größe 126 × 126 zu verarbeiten. Daß dies nicht mit Papier und Bleistift geschieht, ist offensichtlich. Der technische Einsatz der FEM ist ohne schnelle digitale Rechner nicht denkbar. Um die erforderlichen Matrizenmanipulationen zu veranschaulichen, und dabei noch mit übersichtlichen Matrizen zu arbeiten, führen wir einige wesentliche Bestandteile des Ablaufs einer Berechnung mit der FEM an Zug- und Druckstäben, die wir im folgenden nur als Zugstäbe bezeichnen, in der 2-dimensionalen Ebene vor. Al-les für den Zusammenbau der Gesamtstruktur aus den einzelnen Elementen Relevante läßt sich hier an überschaubaren Beispielen vorführen. Zunächst leiten wir die Elementmatrizen der ersten (und einfachsten) Elemente, der Zugstäbe, her. Danach werden wir anhand des Zusammenbaus von einzelnen Stäben zu einem Verbund, einem Fachwerk, die Matrizenmanipulationen beschreiben, die typisch für die FEM sind.