Vergleichssätze

Zusammenfassung

Auf den bisher begangenen Wegen, topologische Eigenschaften vollständiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten durch die Krümmung zu charakterisieren, ist es ein entscheidender Schritt, das Problem zunächst zu relativieren. Nämlich, entsprechende differentialgeometrische oder topologische Eigenschaften zweier Riemannscher Mannigfaltigkeiten auf Grund von Krümmungsrelationen miteinander zu vergleichen und dann die guten Kenntnisse über Standardräume, etwa Modellräume konstanter Krümmung, zu investieren. Aussagen in dieser Richtung nennt man sinnvoll Vergleichssätze. Sie haben in der Riemannschen Geometrie eine selbständige Bedeutung gewonnen. Es sollen in diesem Paragraphen einige wichtige Vergleichssätze dargestellt werden. Eine wesentliche Rolle spielt dabei im folgenden die Randwert- und Vergleichstheorie für Jacobifelder, eine Verallgemeinerung der klassischen Liouville-Sturm-Theorie für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, an die wir hiermit erinnern.