Abstract
Since Riemann, the problem of determining all domains in the plane that are biholomorphically (= conformally) equivalent to each other has been one of the main interests of geometric function theory. Existence and uniqueness theorems make it possible to study interesting and important holomorphic functions without knowing closed analytic expressions (such as integral formulas or power series) for them. Furthermore, analytic properties of the mapping functions can be obtained from geometric properties of the given domains.
Zwei gegebene einfach zusammenhängende ebene Flächen können stets so auf einander bezogen werden, daß jedem Punkt der einen Ein mit ihm stetig fortrückender Punkt der andern entspricht und ihre entsprechenden kleinsten Theile ähnlich sind. (Two given simply connected planar surfaces can always be related to each other in such a way that every point of one corresponds to one point of the other, which varies continuously with it, and their corresponding smallest parts are similar.)
— B. Riemann, 1851
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Bibliography
Bjeberbach, L.: Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen, Encyc. Math. Wiss. II, 3.1, 379–532, Teubner, 1921.
Carathéodory, C.: Ges. Math. Schriften 3.
Carathéodory, C.: Conformal Representation, Cambridge University Press 1932, 2nd ed., 1952.
Cartan, E.: Sur les domaines bornés homogènes de l’espace de n variables complexes, Abh. Math. Sem. Hamburg 11, 116–162 (1935); OEuvres I, 2, 1259–1306.
Cartan, H.: Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer oder mehrerer komplexer Veränderlichen, Hochschultaschenbücher BI, Mannheim, 1966.
Courant, R.: Ober die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung, Math. Ann. 71, 145–183 (1912).
Henrici, P.: Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3, J. Wiley and Sons, 1986.
Hilbert, D.: Ges. Math. Abh. 3, Springer, 1970.
Kaup, L. and B. Kaup: Holomorphic Functions of Several Variables: An Introduction to the Fundamental Theory, trans. M. Bridgland, de Gruyter, 1983.
Koebe, P.: Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl. 1907, erste Mitteilung 191–210; zweite Mitteilung 633–669.
Koebe, P.: Ueber die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven I, Math. Ann. 67, 145–224 (1909).
Koebe, P.: Ueber eine neue Methode der konformen Abbildung und Uniformisierung, Nachr. Königl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Kl. 1912, 844–848.
Koebe, P.: Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung, I, Die Kreisabbildung des allgemeinsten einfach und zweifach zusammenhängenden schlichten Bereichs und die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung, Journ. reine angew. Math. 145, 177–223 (1915).
Lichtenstein, L.: Neuere Entwicklungen der Potentialtheorie, Konforme Abbildung, Encykl. Math. Wiss. II 3.1, 177–377, Teubner, 1919.
Lindelöf, E.: Sur la représentation conforme d’une aire simplement connexe sur l’aire d’un cercle, Compte rendu du quatrième congrès des mathématiciens scandinaves, 59–90; ed. G. Mittag-Leffler, 1920.
Narasimhan, R.: Complex Analysis in One Variable, Birkhäuser, 1985.
Osgood, W. F.: On the existence of the Green’s function for the most general simply connected plane region, Trans. Amer. Math. Soc. 1, 310–314 (1900).
Ostrowski, A.: Mathematische Miszellen XV. Zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete, Jber. DMV 38, 168–182 (1929); Coll. Math. Papers 6, 15–29.
Poincaré, H.: Sur les groupes des équations linéaires, Acta Math. 4, 201–311 (1884); OEuvres 2, 300–401.
Pommerenke, C.: Boundary Behaviour of Conformal Maps, Springer, 1991.
Pôlya, G. and G. Szegö: Problems and Theorems in Analysis, vol. 2, trans. C. E. Billigheimer, Springer, New York, 1976.
Radô, T.: Über die Fundamentalabbildung schlichter Gebiete, Acta Sci. Math. Szeged 1, 240–251 (1922–1923); see also Fejér’s Ges. Arb. 2, 841–842.
Range, R. M.: Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex Variables, Springer, 1986.
Riemann, B.: Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Inauguraldissertation Göttingen 1851, Werke 3–45.
Schwarz, H. A.: Ges. Math. Abhandlungen, 2 vols., Julius Springer, 1890.
Weierstrass, K.: Über das sogenannte Dirichletsche Princip, Math. Werke 2, 49–54.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1998 Springer Science+Business Media New York
About this chapter
Cite this chapter
Remmert, R. (1998). The Riemann Mapping Theorem. In: Classical Topics in Complex Function Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol 172. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2956-6_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2956-6_8
Publisher Name: Springer, New York, NY
Print ISBN: 978-0-387-98221-2
Online ISBN: 978-1-4757-2956-6
eBook Packages: Springer Book Archive