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J’entends par là que lesn fonctions ne sont liées par aucune relation identique.
Dans le seul de ses cours (cours manuscrit) où il soit fait allusion à cette démonstration,Weierstrass précise le théorème et annonce qu’il l’établira dans les leçons suivantes. Mais le manuscrit porte alors queWeierstrass, malade, a interrompu son cours; quand il le reprend quelques semaines plus tard, il poursuit le développement de la théorie des fonctions abéliennes, sans revenir sur le théorème en question.
On sait que, pourn≧4, ces fonctions sont plus générales que celles qui sont définies par l’inversion jacobienne dans la théorie des courbes algébriques.
Ces périodes satisfont toujours aux conditions classiques deRiemann.
J’ai fait connaître récemment une démonstration très directe et très élémentaire de ce théorème (Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, 14 avril 1902).
Voir les nos 36–37.
Il n’est pas nécessaire de supposer les fonctionsanalytiques. Si ϕ(u, v) ψ(u, v) sont des fonctions continues, à dérivées premières continues, des variables réelles (u, v), et admettent (pouru, v, u o ,v o réels) un théorème d’addition, elles sont sûrement analytiques, d’après le raisonnement même qui suit.
Il est clair d’après cela que six(u, v), y(u, v) admettent un théoréme d’addition, il en va de même pour les fonctions obtenues en effectuant suru, v une substitution linéaire.
Autrement,x ety ne dépendraient que d’uneseule constante arbitraire.
Il est aisé de montrer directement que deux fonctions uniformes deu, v (indépendantes) ne peuvent admettre plus de quatre couples de périodes (distincts) sans être des constantes; le théorème s’établit comme le théorème analogue dans le cas d’une seule variable, mais il résulte aussitôt de ce qui suit.
Dans ses mémorables travaux sur les fonctions algébriques de deux variables, qui ont donné un tel essor aux recherches de toute nature intéressant les surfaces algébriques,M. Picard (Mémoire couronné, p. 99–116) a indiqué une démonstration de ce théorème. C’est même, à ma connaissance, la seule démonstration qui ait été tentée du théorème deWeierstrass, (ou plus exactement, d’une proposition équivalente). Mais l’analyse de l’illustre géomètre Français présente des lacunes qui ne me semblent pouvoir être comblées sans une discussion analogue à celle qu’on trouvera développée aux pages 25–38; or c’est cette discussion qui constitue toute la difficulté de la démonstration que je propose.
Il suffit, en effet, que pour une valeur arbitraire (non exceptionnelle)X o deX, la courbeX o =R(x, y, z) deS n’ait pas une infinité de cordes parallèles àOx: si donc on ne choisit pas les axesOxyz d’une façon exceptionnelle, à un pointy, z de la courbeS 1(X o ,y, z)=O, autrement dit à un point (X, y, z) de la surfaceS 1, correspond une seule valeur dex.
La démonstration supposera toutefois que les deux intégralesI, J ne sont pas fonctions l’une de l’autre, autrement dit quePQ 1 −Q 1 P n’est pas identiquement nul: mais le casPQ 1 −Q 1 P≡o ne nous intéresse pas ici.
A moins toutefois que toutes les périodes d’une combinaison αI+βJ ne soient nulles; mais αI+ βJ serait alors rationnelle enx, y, z, et admettrait une courbe polaire.
Voir la note 1 de la page 12.
Cette fonction ne se réduit pas à une simple fonction dex, car autrement les intégralesI(x, y, z), J(x, y, z) seraient fonctions l’une de l’autre.
On peut disposer dea, b de façon que, pouru=0, x, y etz prennent les valeurs arbitrairesx 0,y 0,z 0, liées par la conditionS(x 0,y 0,z 0)=0.
Il ne faut pas oublier que les périodes des intégralesI, J, attachées à la surfaceS, correspondent essentiellement à des cyclesfermés surS. Soit par exemple,\(du = dx + \sqrt y dy, dv = \frac{{dy}}{y}, S \equiv y - z^2 = 0\). L’intégralev=J, attachée àS, a comme période 4iπ et non 2iπ, car il faut quey tourne deux fois autour du pointy=0 pour quez reprenne la même valeur. Les fonctions uniformes\(x = u - \frac{2}{3}e^{\frac{{3v}}{2}}\),y=e v admettent le couple de périodes 2ω=0 (pouru), 2ω 1 = 4iπ (pourv), (et non pas 2ω 1 = 2iπ).
Le système de périodes 2ω 1, 2ω 2 est bien entendu supposéprimitif. La remarque de la note 1 s’applique encore. Par exemple, soit:\(\begin{array}{*{20}c} {du = dx + \sqrt {y - e_1 } dy, dv = \frac{{dy}}{{\sqrt {2(y - e_1 )(y - e_2 )(y - e_3 )} }},} \\ {S \equiv z - \sqrt {y - e_1 } - \sqrt {4(y - e_1 )(y - e_2 )(y - e_3 )} = 0,} \\ {(e_1 + e_2 + e_3 = 0);} \\ \end{array} \) si 2ω 1, 2ω 2 sont les périodes de la fonction℘(υ,e 1,e 2,e 3), les périodes deJ sont 2ω 1 et 4ω 1 (et non pas 2ω 1, 2ω 2).
Voir la note 1, p. 12.
Cette vérification est inutile, si on se rappelle que les fonctions (IV) sont les quotients de trois séries ϑ(u, v) dégénérées [voir le no 4].
Si ω=ω′=0, α et β sont nuls, et la fonction de seconde espèce se réduit à l’unité.
Par hypothèse, 2iπ est la plus petite période des fonctionsx(u, v 0),y(u, v 0),z(u, v 0); il en est de même évidemment quand on remplaceu paru 1+F(v 0).
Voir la note 1. p. 19.
On aurait traité aussi facilement le problème qui fait l’objet de ce chapitre sans supposer que l’intégralev=J soit dénuée decourbes polaires. Il aurait fallu considérer, en outre du cas étudié plus haut (p. 20), les deux cas [nos 13, 14] où on a:\(dv = dy, ou adv = \frac{{dy}}{y}\). On trouve aussitôt qu’une transformation birationnelle effectuée surS et une substitution linéaire effectuée suru, v ramènent le système (18) [quand les fonctionsx, y, z deu, v dontméromorphes] à une des deux formes:\(\begin{gathered} u + a = \log x + ay + \beta y^2 + ... + \lambda y^n , v + b = y, \hfill \\ u + a = \log x + \frac{a}{{y^j }} + \frac{y}{{y'^{j - 1} }} + ... + \frac{\delta }{y} + \varepsilon y + ... + \lambda y^m , v + b = \log y, \hfill \\ \end{gathered}\) a, b constantes arbitraires,j, m, n entiers ≧0. Mais si on veut de plus quex(u, v), y(u, v) admettent un théorème d’addition, il faut que l’expression deu+a se réduise à logx; x ety sont alors des fonctionsrationnelles soit dee u,v, soit dee u,e v.
Si ϕ(u, v) est une fonction quelconque, le lemme subsiste, à condition de remplacer dans l’énoncé le motrationnelle par le motalgébrique.
Si la transformationv=au+v 1 change φ(u, v) en une fonctionϕ 1(u,v 1) algébrique enu, il en est de même évidemment de la transformationv=a(u+h)+v 2, qui substitue àv 1 l’expression (ah+v 2); la présence deh est, dans ce cas, purement parasite.
On sait qu’une fonctionf(u) est ditealgébroïde pouru=a si elle est développable, dans le voisinage deu=a, suivant les puissances croissantes de (u−a)1/n, (n entier >0), les premières puissances pouvant être négatives;f(u) estfractionnaire ou méromorphe pouru=a siu=a est un pôle def(u). On dit quef(u) est algébroïde pouru=∞ si la fonction\(f_1 (u_1 ) \equiv f\left( {\frac{1}{{u_1 }}} \right)\) est algébroïde pouru 1=0.
Comme on peut augmenteru, v de constantes arbitraires, il est loisible (et e’est ce que nous ferons, pour simplifier l’écriture) de supposer, queu=0,v=0 sont desvaleurs quelconques; autrement dit, nous admettrons qu’on a préalablement remplacéu, v paru+a, v+b, les constantesa, b étant arbitrairement choisies (et non exceptionnelles). Dans ces conditions, les fonctionsc(u, v), y(u, v), z(u, v) pourv=0, ne se réduisent pas toutes trois à des constantes, et la même remarque s’applique àu=0. De plus, on sait quex(u+h, v+k) s’exprime rationnellement à l’aide deU 1(u)=x(u, k),U 2(u)=y(u, k),U 3(u)=z(u, k) et deV 1(v)=x(h, v),V 2(v)=y(h, v),V 3(v)=z(h, v); soitx(u+h, y+k)=R(U 1,U 2,U 3,V 1,V 2,V 3); pourh=k=0 etu, v arbitraires, les valeurs deU 1,U 2,U 3,V 1,V 2,V 3 ne donnent pas àR la forme 0/0 et la même remarque s’applique ày, z.
Voir la note I, p. 25.
Un tel terme existe toujours; autrement,v serait fonction deu 1, etPQ 1−QP 1 identiquement nul.
Voir la note 1, p. 25. A la valeurv=0, correspond la valeur θ=I. Les fonctionsV 1(v),V 2(v) ne sont pas toutes deux des constantes, et ne peuvent, par suite, se réduire simultanément à des fractions rationnelles.
Les fonctionsx, y, z deu, v ne changent pas quand on augmentev de2iπ, et ne peuvent être rationnelles env sans être indépendantes dev.
Φ et Ψ sont uniformes mais peuvent admettreu 1=∞,u 1=0,v 1=∞ comme points essentiels.
Les fonctionsΦ 1(u,w),Ψ 1(u,w) sont uniformes; il est donc loisible, dans\(\frac{{\log u_1 }}{{u_1^k }}\), de prendre la détermination de logu 1 telle que sa partie imaginaire soit comprise entre O et 2π.
Ces expressions algébriques enU 1,U 2,T 1,T 2 ne sauraient être de la forme 0/0, du moment que les valeursu=0,v=0 sontquelconques (voir la note I, p. 25). La même remarque s’applique à tous les raisonnements analogues.
Si les fonctionsx(t, τ), y(t, τ), z(t, τ) sont méromorphes, il en est de même sûrement des fonctions obtenues en remplaçantt paru 1τ.
Sij=0, autrement dit si δ′(y)≢0,t coïncide avect′ etT ′1 ,T ′2 ne dépendent que det.
Voir la note I, p. 25.
La chose est évidente pourU 1,U 2 puisque les fonctionsx=φ(u, v),y=φ(u, v) sont méromorphes.
Posons\(w = \frac{v}{{B_0 (y_0 )}} = \rho (\cos \omega + i\sin \omega ),X = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ),\log X = \log r + i\varphi\), (φ restant compris expressément entre o et 3π); dans ces conditions, ε tend vers zéro avecX; d’une façon précise, η désignant une quantité positive prise d’avance aussi petite qu’on veut, on a: |ε|<η, dès que |X| est inférieur à une certaine quantité μ, et par suite:\(w = \frac{I}{{r^n }}(\cos n\varphi - i\sin n\varphi )\lambda (\cos \alpha + i\sin \alpha )\), avec\(I - \eta \leqq \lambda \leqq I + \eta , - \eta \leqq \sin \alpha \leqq \eta\); si doncx varie de μ à o et φ de o à 3π, on voit quew coïncide avec tous les points extérieurs à un cercle décrit de l’origine comme centre avec un rayon égal à\(\frac{{I + \eta }}{{\mu ^n }}\);v coïncide avec tous les points dont le module dépasse\(\left| {B_0 (y_0 )} \right|\frac{{(I + \eta )}}{{\mu ^n }}\).
Les systèmes de fonctions qui figurent dans le tableau (T) sont des quetients de fonctions θ (à deux variables) dégénérées [voir le no 4].
Puisque le point (ξ, η, ζ) décrit un cycle fermé quandξ 1 et\(\sqrt {R(\xi _1 )}\) reprennent les mêmes valeurs,ξ 2 et\(\sqrt {R(\xi _2 )}\) ne variant pas.
Ce résultat a déjà été établi parM. Picard, Mém. couronnéSur les fonctions algébriques de deux variables [p. 101–104].
Voir la note 1, pag. 11.
M. Picard se borne à dire (à la notation près) [loc. cit. p. 107 et 114] que, siξ 1 tend versa 2 (le radical\(\sqrt {\xi _2 }\) ayant un signe convenable), la période polaire est pouru égale à 2πi. ≫Donc quandξ 1 tend versa 2,\(\sqrt {\xi _1 }\) ayant un certain signe, quels que soient d’ailleursξ 2 et\(\sqrt {\xi _2 }\), le point (x, y, z) tendra vers un point de la courbe logarithmiqueC 1.≫
La transformation\(X = \frac{{\left( {\sqrt {\xi _1 } - a} \right)\left( {\sqrt {\xi _2 } - a} \right)}}{{\left( {\sqrt {\xi _1 } + a} \right)\left( {\sqrt {\xi _2 } + a} \right)}}, Y = \frac{{\left( {\sqrt {\xi _1 } - b} \right)\left( {\sqrt {\xi _2 } - b} \right)}}{{\left( {\sqrt {\xi _1 } + b} \right)\left( {\sqrt {\xi _2 } + b} \right)}}\) ramène le système (52) à la forme:\(du = \frac{{dX}}{X}, dv = \frac{{dY}}{Y}\). Le raisonnement deM. Picard revient àadmettre que (un couple de résidus deI, J étant +1 et 0) la valeurX=0 est un point non essentiel pour les fonctions uniformesx, y, z deX, Y et àdémontrer qu’il en va de même pourX=∞. Or la discussion qui fait l’objet des nos 25–31 n’a d’autre but que d’établir le admis ici.
Voir le Bulletin de la soc. math. de France (tome 28, p. 201–211) et les Acta mathematica (tome 25, p. 1–80).
Je suppose bien entendu qu’on écarte le cas (déjà traité) où les deux constantes, convenablement choisies, figurent algébriquement dansx, y.
Quand ∝H(y)dy est de première espèce, on rentre dans le cas où les constantes figurent algébriquement dansx, y.
Loc. cit. p. 65–99; voir aussi mesLecons de Stockholm, p. 255–288, et les récentes recherches deMM. Castelnuoro etEnriques (Math. Annalen, 1899, et Comptes-Rendus de l’Académie des Sc. de Paris, 5 novembre 1900).
Leçons de Stockholm, p. 351–394.
Loc. cit. p. 129–142.
Leçons de Stockholm, p. 351–360.
Il est loisible d’admettre qu’une des expressions\(\frac{{\partial A}}{{\partial x_0 }} + \frac{{\partial A}}{{\partial y_0 }}F'(x_0 ), \frac{{\partial B}}{{\partial x_0 }} + \frac{{\partial B}}{{\partial y_0 }}F'(x_0 )\), n’est pas identiquement nul, (soit la première); sinon,\(\frac{{\partial x}}{{\partial u}},\frac{{\partial x}}{{\partial v}},\frac{{\partial y}}{{\partial u}},\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\) seraient nuls, etx, y seraient des constantes.
J’entends par là que lesn fonctionsu 1, ...,u n dex 1, ...,x n sontdistinctes, autrement dit que le déterminant\(\left| {\begin{array}{*{20}c} {P_1 Q_1 . . . T_1 } \\ { \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot } \\ {P_n Q_n . . . T_n } \\ \end{array} } \right|\) n’est pas identiquement nul.
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Painlevé, P. Sur les fonctions qui admettent un théorème d’addition. Acta Math. 27, 1–54 (1903). https://doi.org/10.1007/BF02421295
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02421295