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Bekanntlich sind die Ringe die allgemeinsten Mengen (Strukturen), in denen man Polynome zu erklären pflegt. Meistens schreibt man dabei die Existenz des Einselementes vor, von dieser Einschränkung kann man sich frei machen, so dass man einen Oberring mit Einselement zu Hilfe nimmt und nur die Polynome in diesem betrachtet, deren Koeffizienten im gegebenen Ring liegen. Dagegen beschränken wir uns auf kommutative Ringe, da sonst zwischen den Polynomen und den durch sie erzeugten Funktionen kein einfacher Zusammenhang (keine homomorphe Beziehung) besteht (s. unten).
Zwischen diesen bekannten Ringen besteht folgende merkwürdige „Dualität”: ℜ(p e), ℜ(m) sind endliche Ringe mit Einselement, die multiplikative Gruppe der von 0 verschiedenen Elemente des ersten, bzw. die additive Gruppe aller Elemente des zweiten ist zyklisch. Zwischen den unzerlegbaren Bestandteilen ℜ(p e), ℜ(p e) ist auch noeh gemeinsam, dass die Elementenzahl beidesmahl eine (beliebige) Primzahlpotenz ist. Trotzdem werden sich diese Ringe in Betracht unseres Problems stark abweichend verhalten. Eine Ausnahme machte=1, da ℜ(p)≈ℜ(p) ist.
Denn giltR∼S≧T, so gibt es einU mitR≧U∼T. Wegen der Transitivität beider Zeichen ≧, ∼ folgt hieraus die Behauptung durch vollständige Induktion.
Wir lassen für gewöhnlich nur Polynome von einer Unbestimmten zu, nur als Hilfsmittel werden später auch Polynome von mehreren Unbestimmten vorkommen.
Wird nichts anderes gesagt, so sprechen wir nur über eindeutige Funktionen.
Und zwar kommt diese Homomorphie so zustande, dass man jedemR-Polynomf(x) dasR-„Polynom”f(x) zuordnet. Nach dem sogenannten Einsetzungsprinzip entsprechen dann in der Tat der Summe und dem Produkt zweierR-Polynomef(x), g(x) eben die Summe und das Produkt derR-„Polynome”f(x), g(x). Für nichtkommutative Ringe gilt das bezüglich des Produkts nicht mehr, und dann hören die Polynome auf, ein gut brauchbares Mittel zur Darstellung der Funktionen zu sein, wie wir das in2 schon bemerkt haben. Hier bemerken wir auch, dass wir unser Problem so lösen wollen, dass dabei (3) nicht verlorengeht (s. unten).
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Das führt zu keinem Missverständnis, denn man wird immer wissen, ob dieseR-Funktion unmittelbar inR definiert wurde oder ein „Teil” einerS-Funktion ist.
Das ist ebenso zu verstehen, wie man auch sagen kann, dass jedesG-Polynom zugleich auch eine ℜ (m) Funktion (und zwar für jedesm) darstellt, worauf man sich in der Zahlentheorie oft beruft, ohne es ausdrücklich zu sagen. Als grundsätzlicher Unterschied tritt dabei auf, dass das über ψ(x) gesagte füre=1 nicht mehr gilt (darüber später näheres). Die Restklasse modI. die das Elementx enthält, nennen wir manchmal wie auch schon oben kurz die Restklassex (modI).
Die Ähnlichkeit beider Definitionen 1, 2 ist augenscheinlich, beidesmal kommt es nämlich darauf an, dass man eineS-Funktion unter Umständen in einem Unterring bzw. homomorphen Ring auffassen kann. Hier bemerken wir auch, dass wir die Definition I nur auf den Fall anwenden werden, in demf(x) einS-Polynom ist, dagegen wird für uns in der Definition 2 eben der andere Fall von Wichtigkeit sein, in dem nämlich dieS-Funktionf(x) keinS-Polynom ist.
Somit sind die zulässigen Funktionen eine Verallgemeinerung der Polynome.
Man könnteK stattK m nehmen, aber das würde nicht mehr leisten.
Dann istK ein gemeinsamer Darstellungsring für alle ℜ (p e)(x). — Nach Satz 3 können wir wieder sagen, dass die Funktionentheorie in ℜ (p e) ein Kapitel der Theorie der Polynome inK p ist.
Selbstverständlich schliesst Satz 3 die Möglichkeit nicht aus, dass es zu ℜ (p e) auch solche Darstellungsringe gibt, die keinen zuK p isomorphen Unterring haben. Es könnte sogar sein, dass es (allgemeiner) zu ℜ(m) einen endlichen Darstellungsring gibt, diese Frage haben wir nicht geprüft. Wir sagen nochmals ausdrücklich, dass wir hier bezüglich ℜ(m) in der Hauptsache nur die Frage untersuchen, inwieweit sich die ℜ(m)-Funktionen durchK-Polynome darstellen lassen. Das bedeutet, dass wir die einfachere “algebraische” Definition von ℜ(m) ausser Acht lassend unmittelbar an die “zahlentheoretische” Definition angeknüpft haben, und so sind wir zugleich auch den zahlentheoretischen Interessen nachgekommen. — Hier bemerken wir noch, dass sich auch diese ursprüngliche Definition (von ℜ(m) und sogar) von ℜ(n)(x) rein algebraisch formulieren lässt, so dass man aus dem Primkörper von der Charakteristik o stattK ausgeht und alles sinngemäss verändert, “zahlentheoretisch” wird diese Definition erst dadurch, dass man wiederK einsetzt.
Wir nennen ein Polynom von der Formx n +cx n−1+... ein Hauptpolynom.A. Albert schlug in seiner “Modern higher algebra, 1937” die Benennung (englisch: monique) monisch vor. Der ältere Ausdruck “normiert” ist nicht trefflich, da sich die Polynome in einem Ringe im allgemeinen nicht “normieren” lassen.
—. undI. E. Dickson-E. Bodewig, Einführung in die Zahlentheorie, Leipzig u. Berlin 1931, 1–175, haben sich mit dem Problem in der obigen zweiten Fassung beschäftigt.
Selbstverständlich ist dabeim als ein konstantesG-Polynom anfzufassen.
Kleine Bruchstücke von diesem Satz finden sich in den unter29 zitierten Beispielen von Dickson. Es ist klar, dass durch Satz 5 die ähnliche Frage allgemein für jeden Modulm beantwortet wird, so dass man den Satz mit jedemp e(p e‖m) anwendet.
Offenbar lässt sich Satz 6 auch aufK-Polynome anwenden, so dass man dieses durch eine Partialbruchzerlegung ersetzt.
Dies geht wegen (27) und (15) mit wiederholter Anwendung von (14) das man zu diesem Zweck in der Form (49) schreibt. (Vgl. die Beispiele in § 8.)
Wir sagen “m-Restklasse” statt “Restklasse modm”.
Ersetzt man in (52) den Exponentenep e durche m, so bekommt man die Anzahl aller ℜ(m)-Funktionen, und so sehen wir, dass im allgemeinen nur verhältnismässig wenige von diesen sich durchK-Polynome darstellen lassen.
Man braucht nicht im voraus zu wissen, obf(x) G-haltend ist, sondern man kann es gleich mit obiger Entwicklung anfangen, denn nach Satz 6 wird eben durch diese Entwicklung entschieden, obf(x) wirklichG-haltend ist.
Siehe—, S. 245, auch beiI. E. Dickson-E. Bodewig, Einfürhrung in der Zahlentheorie, Leipzig u. Berlin 1931, S. 22, IV.
Dieser Satz lässt sich auch aus den Resultaten von—, S. 103, Satz IV und S. 107) gewinnen.
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An dieser ersten und der späteren zweiten Mitteilung hat der erste (Rédei) bzw. zweite (Szele) von uns den vorwiegenden Anteil.
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Rédei, L., Szele, T. Algebraisch-Zahlentheoretische Betrachtungen Über. Ringe. I. Acta Math. 79, 291–320 (1947). https://doi.org/10.1007/BF02404701
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02404701