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F. Riesz, Comptes Rendus, Paris149 (1909), 974–977.
Dieser Satz von F. Riesz ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes über konvergente Folgen von linearen FunktionalenF n (s) in einem Banachschen RaumS={s}: die FolgeF n (s) konvergiert genau dann inS gegen ein lineares FunktionalF(s), wenn sie 1) auf einer Menge ders gegenF(s) konvergiert, deren lineare Hülle überall dicht inS liegt und wenn 2) die Normen ‖F n ‖ beschränkt sind. Vgl. etwaS. Banach, Théorie des opérations, Warszawa 1932, S. 79–80.
Wegen (N 1) würde es hier genügen, die gleichmässige Beschräktheit in 0≦t≦c zn fordern.
Denn es ist gleich dem Integral (1), wenn man dorts(t), für o≦t≦d k−1 gleich der obigen Funktions(t), fürt<d k−1 aber gleich o wählt.
Vgl. z.B. Banach, a. a. O. Théorie des opérations, Warszawa 1932 S. 59 und 189–190.
Allgemeiner liefert dersclbe Beweis: Es ist unter den angegebenen Bedingungen für eine stetige Funktionb(t) \(\int\limits_\alpha ^\beta {b (t) d s (t)} = \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{b (t)}}{{a (t)}}d \varrho (t)} .\)
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Lorentz, G.G. Über Limitierungsverfahren, Die Von Einem Stieltjes-Integral Abhängen.. Acta Math. 79, 255–272 (1947). https://doi.org/10.1007/BF02404699
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02404699