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Literatur
C. Carathéodory, u.L. Fejér,Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koefficienten etc, Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo, t. XXXII (20 sem. 1911), p. 232.
T. H. Gronwall,On the maximum modulus of an analytic functions, Annals of mathematics, 20 ser., vol. 16 (1914–1915), p. 77.
A. Pringsheim,Über das Verhalten von Potenzreihen auf dem Convergenzkreise, Sitzungsber. d. math.-phys. Cl. d. k. bay. Akademie d. Wiss. zu München, 1900, Heft I., p. 96–98;P. Fatou,Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta mathematica 30 (1906), p. 363;E. Lindelöf,Sur un principe général de l'Analyse et ses applications à la théorie de la représentation conforme, Acta Soc. Scient. Fennicae, Tom. XLVI, No 4 (1915), p. 7. Laut mündlicher Mitleitung des HerrnL. Fejér kann man den Satz auch durch folgende einfache Überlegung begründen: Die Potenzreihe einer beschränkten Funktion ist auch eineFourier'sche Reihe für die Randfunktion und ist daher an einer Unstetigkeitsstelle erster Art durch arithmetische Mittel summierbar. Daraus folgt nach dem verallgemeinerten,Abel-Frobenius'schen Satze, dass bei jeder beliebigen geradlinigen Annäherung jener Stelle aus dem Inneren des Kreises die Funktionein und demselben Grenzwerte, nämlich der Reihensumme zustrebt. Andererseits sindF(x+iy) oder, wenn es beliebt, Reell-und Imaginarteil derselben harmonische Funktionen; der Grenzwert einer harmonischen Funktion an einer Unstetigkeitsstelle erster Art variirt aber mit dem Einfallswinkel und ist bei verschiedenen Geradenverschieden. Wir möchten noch bemerken, dass der Satz in den folgenden Ausführungen nicht wesentlich benützt wird; jedenfalls gestattet er uns, beim Rechnen mitF(e i t) auf eine gewisse Vorsicht zu verzichten, die bei Auftreten von Unstetigkeitsstellen angemessen wäre.
E. Helly,Über lineare Funktionaloperationen, Sitzungsber. d. kais. Akademie d. Wiss., Wien, Bd CXXI (1912) Abt. 1I a, p. 283.
Es sei nämlicha=a′+ia″, b=b′+ib″, so ist\(|a + \lambda b| = [(a' + \lambda b')^2 + (a'' + \lambda b'')^2 ]^{\tfrac{1}{2}} ;|a + \lambda b|'_{\lambda = 0} = \left[ {\frac{{b'(a' + \lambda b') + b''(a'' + \lambda b'')}}{{|a + \lambda b|}}} \right]_{\lambda = 0} = \frac{{a'b' + a''b''}}{{|a|}}.\)
Unter spezielleren Voraussetzungen (reelle Funktionen und reelles Parameter, endliche Anzahl von Zeichenwechsel) steht die Notwendigkeit der Bedingung schon in der ersten Arbeit von Th.J. Stieltjes:De la représentation approximative d'une fonction par une autre, Delft 1876, Oeuvres complètes, I, p. II.
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Riesz, F. Über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern. Acta Math. 42, 145–171 (1920). https://doi.org/10.1007/BF02404405
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