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Un aperçu en a été publié aux C. R. A. S., T. 226 (1948), p. 625–27 et p. 866–68.
Le rapprochement avec la géométrie analytique se fera naturellement.
q=n−2 donne le cas banal où toutes les sphères sont concentriques.
Dans ce dernier cas, on dira queU est imaginaire pure.
On voit en particulier que\(W_i = \overline {V_1 V_2 ...{\text{ }}V_n V_n ...{\text{ }}V_i } V_i = - \overline {V_1 V_2 ...{\text{ }}V_n V_n ...{\text{ }}V_{i + 1} } V_i = - \overline {U_n ...{\text{ }}U_2 U_1 U_i } .\)
La remarque qui suit la démonstration précise le caractére de cette multiplication.
Les multiplications sont ordinaires, sauf lorsque l'exposant ou l'indice de multiplication est placé inférieurement.
On a\(B_{n - 1} = \overline {U_{n - 1} ...{\text{ }}U_2 A_1 } \), done la coïcidence deB n−1 avecA n équivaut à\(\overline {U_n U_{n - 1} ...{\text{ }}U_2 A_1 } = \infty {\text{ }}ou{\text{ }}\overline {U_n U_{n - 1} ...{\text{ }}U_2 U_1 } {\text{ }}\infty = \infty \), ce qui est une condition évidente.
Cette condition est également nécessaire pour que\(\overline {U_n ...{\text{ }}U_2 U_1 } \) soit une similitude, mais il s'y joint alors la condition σ1=0.
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Lagrange, R. Sur les produits d'inversions. Acta Math. 82, 1–70 (1950). https://doi.org/10.1007/BF02398274
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02398274