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References
H. Poincaré, Science et Méthode, Paris 1909, p. 50–53. Voir aussi Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. LVII–LVIII.
F. Klein, Die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert.—Dritter Teil, Funktionentheorie von 1850 bis ca. 1900.
F. Klein, ÜberRiemann's Theorie der algebraischen Functionen und ihrer Integrale, Leipzig 1882=Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. XCIX, p. 499–573.
Ueber eindeutige Functionen mit linearen Transformationen in sich («Das Rückkehrschnitt-theorem»), Math. Annalen, t. 19 (1882), p. 565–568=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CI, p. 622–626.
Gedruckt in Math. Annalen, t. 20 (1882), p. 49–51=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CII, p. 627–629. («Das Grenzkreistheorem.»)
Sur les fonctions fuchsiennes, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris t. 94, p. 1038–1040 (10 avril 1882)=Œuvresde Henri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 41–43.
Neue Beiträge zurRiemannschen Functionentheorie, Math. Annalen, t. 21 (1882/83), p. 141–218=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CIII, p. 630–710. («Das allgemeine Fundamentaltheorem» steht daselbst in Abschnitt IV.)
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, t. 92, p. 333–335 (14 février 1881); p. 395–396 (21 février 1881); p. 859–861 (4 avril 1881)=Œuvresde Henri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 1–10.
Ueber die Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Math. Annalen, t. 14 (1879), p. 111–172; Ueber die Erniedrigung der Modulargleichungen, ib.Math. Annalen, p. 417–427; Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen, ib.Math. Annalen, p. 428–471=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. LXXXII, p. 13–75, Nr. LXXXIII, p. 76–89, Nr. LXXXIV, p. 90–135.
Ueber Multiplicatorgleichungen, Math. Annalen, t. 15 (1879), p. 86–88; Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen, ib.Math. Annalen, p. 533–555=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. LXXXV, p. 137–139, Nr. LXXXVI, p. 140–165.
Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Math. Annalen, t. 17 (1880), p. 62–70=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t 3, Nr. LXXXVII, p. 169–178.
Sur des fonctions qui proviennent de l'équation deGauss, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, t. 92, p. 856–858 (4 avril 1881)=(Euvres deG. H. Halphen, Paris 1918, t. 2, p. 471–474
Über diejenigen Fälle, in welchen dieGaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 75 (1873), p. 292–335=H. A. Schwarz, Ges. math. Abh., Berlin 1890, t. 2, p. 211–259.
Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst, Math. Annalen, t. 9 (1976), p. 183–208=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1922, t. 2, Nr. LI, p. 275–301.
Ueber lineare Differentialgleichungen, Math. Annalen, t. 12 (1877), p. 167–179; Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder, ib. Ges. math. Abh., Berlin p. 503–560=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1922, t 2, Nr. LII, p. 307–320; ib. Ges. math. Abh., Berlin p. 321–384.
Würden Sie HerrnPicard, obgleich es ein untergeordneter Punkt ist, vielleicht gelegentlich auf Annalen XIV, p. 122, § 8 aufmerksam machen!
Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Theorie der Multiplikatorgleichungen 1. Stufe, Leipzig 1881; Math. Annalen, t. 18 (1881), p. 528–592.
Schreiben an HerrnBorchardt über die Theorie der elliptischen Modul-Functionen, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 83 (1877), p. 265–292.
Sur quelques propriétés des intégrales des équations différentielles, auxquelles satisfont les modules de périodicité des intégrales elliptiques des deux premières espèces, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 83 (1877), p. 13–37=L. Fuchs, Ges. math. Werke, Berlin 1906, t. 2, p. 85–111. Voir aussi la note deM. Schlesinger l. c. p. 112–114.
Ueber einige Abbildungsaufgaben, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 70 (1869), p. 105–120=H. A. Schwarz, Ges. math. Abh., Berlin 1890, t. 2, p. 65–83.
Sur les fonctions fuchsiennes, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, t. 92, p. 1198–1200 (23 mai 1881)=(Euvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 12–15.
ib. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, p. 1484–1487 (27 juin 1881)=(Euvres p. 19–22.
Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 66 (1866), p. 121–160=L. Fuchs, Ges. math., Werke, Berlin 1904, t. 1, p. 159–204.
Über die Transformation der elliptischen Functionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades, Math. Annalen, t. 14 (1878/79), p. 111–170, Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen, Math. Annalen, t. 14 (1878/79), p. 428–471=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. LXXXII et Nr. LXXXIV, p. 13–75 et p. 90–135.
Versuch einer übersichtlichen Darstellung derRiemann'schen Fläche, welche derGalois'schen Resolvente der Modulargleichung für Primzahltransformationen der elliptischen Functionen entspricht, Math. Annalen, t. 18 (1881), p. 507–527.
Über die Erniedrigung der Modulargleichungen, Math. Annalen, t. 14 (1879), p. 417–427 =Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. LXXXIII, p. 76–89.
Vgl. hierzu die Note vonSchottky, Über eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich, Math. Annalen, t. 20 (1882), p. 299–300.
Pour que ce thérème soit vrai il faut encore ajouter une condition;cf. Über den Begriff des funktionentheoretischen Fundamentalbereichs, Math. Annalen, t. 40 (1892), p. 131=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CIV, p. 711–720.Poincaré fait allusion à cette lettre dans son Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes (Acta math., t. 5 (1884), p. 211=Œuvres, Paris 1916, t. 2, p. 404), où il s'exprime comme il suit: »J'avais, il est vrai, dans lesMathematische Annalen, énoncé un résultat particulier sur ces équations irrégulières, mais ce résultat est inexact; j'amais été trompé par une fausse interprétation d'un théorème deM. Klein dont je ne connais —sais pas la démonstration«.
Theorie derAbel'schen Functionen, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 54 (1857), p. 133–136 =Bernhard Riemann, Ges. math. Werke, Leipzig 1892, p. 119–122.
Sur les fonctions fuchsiennes, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, t. 92, p. 1484–1487 (27 juin 1881); Sur les groupes kleinéens, ib. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, t. 93, p. 44–46 (11 juillet 1881)=Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 19–25.
Sur les fonctions fuchsiennes, ib. Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, t. 92, p. 1198–1200 (23 mai 1881). =Œuvres, t. 2, p. 12–15.
H. A. Schwarz, Ges. math. Abh., Berlin 1890, t. 2, p. 144–171.
Sur les fonctions fuchsiennes, Comptes rendus de l'Acadèmie des Sciences, Paris, t. 93, p. 301–303 (8 août 1881). =Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 29–31.
Felix Klein, ÜberRiemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Leipzig 1882 = Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. XCIX, p. 499–573.
Sur les fonctions uniformes qui se reproduisent par des substitutions linéaires, Math. Annalen, t. 19 (1882), p. 553–564=Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 92–105.
Die vorstehend abgedruckte Arbeit des HerrnPoincaré resumirt gewisse Resultate, welche der Verfasser in einer Reihe aufeinanderfolgender Artikel in den Comptes rendus dieses Jahres mitgeteilt hat. Es wird kaum nöthig sein, dieselben der Beachtung der Mathematiker noch besonders zu empfehlen. Handelt es sich doch um Funktionen, welche geeignet scheinen, in der Lehre von den algebraischen Irrationalitäten denAbel'schen Funktionen erfolgreichen Konkurrenz zu machen, und die überdies einen ganz neuen Einblick in diejenigen Abhängigkeiten gewähren, welche durch lineare Differentialgleichungen mit algebraischen Koeffizienten bestimmt sind. Indem ich HerrnPoincaré im Namen der Anualenredaktion den besonderen Dank dafür ausspreche, dass er uns vorstehenden Aufsatz hat überlassen wollen, glaube ich ihm nur in dem Punkte entgegentreten zu sollen, dass ieh die von ihm vorgeschlagene Benennung der in Betracht kommenden Funktionen als verfrüht bezeichne. Einmal nämlich bewegen sich alle die Untersuchungen, welche Hr.Schwarz und ich in der betreffenden Richtung bislang veröffentlicht haben, auf dem Gebiete der »fonctions fuchsiennes«, über die Hr.Fuchs selbst nirgends publiziert hat. Andererseits habe ich über die allgemeineren Funktionen, welche Hr.Poincaré mit meinem Namen in Verbindung bringt, von mir aus bisher nichts drucken lassen; ich habe nur gelegentlich HerrnPoincaré auf die Existenz dieser Funktionen aufmerksam gemacht (siehe Comptes rendus, t. 92 (1881), p. 1484). Letzterer Umstand ist aber um so irrelevanter, als sich ein spezieller Fall jener allgemeineren Funktionen bereits anderwärts bei Gelegenheit in Betracht gezogen findet, nämlich in der Arbeit von Hrn.Schottky im 83. Bande vonBorchardt's Journal. Es werden dort (p. 346 ff.) Funktionen besprochen, welche sich symmetrisch reproduzieren, wenn man einen ebenen Bereich, der von lauter getrennten Kreislinien begrenzt ist, an eben diesen Kreislinien spiegelt. Übrigens möchte ich auch auf dieDyck'schen Arbeiten im 17. und 18. Bande dieser Annalen sowie insbesondere auf dessen demnächst (in Bd. XX) erscheinende Habilitationsschrift verweisen, wo Gebietseinteilungen der allgemeinsten hier in Betracht kommenden Art zu gruppentheoretischen Zwecken verwandt werden. — Vielleicht ist es gut, diesen kleinen Bemerkungen noch eine allgemeinere zuzugesellen und bei vorliegender Gelegenheit zu konstatieren, dass alle die hier in Frage kommenden Untersuchungen, und zwar sowohl diejenigen, welche ein geometrisches Gepräge besitzen, als auch die mehr analytischen, die sich auf die Lösungen linearer Differentialgleichungen beziehen, aufRiemann'sche Ideenbildungen zurückgehen. Der Zusammenhang ist ein so enger, dass man behaupten kann, es handele sich bei Untersuchungen im Sinne des Hrn.Poincaré geradezu um die weitere Durchführung des allgemeinen funktionentheoretischen Programm's, welchesRiemann in seiner Doktordissertation aufgestellt hat. Leipzig, den 30. Dezember 1881.F. Klein.
Über eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich („Das Rückkehrschnitt-theorem”), Math. Annalen, t. 19 (1882), p. 565–568 =Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CI, p. 622–626.
Lettre no. XVII.
Cette lettre a été imprimée dans les Math. Annalen, t. 20 (1882), p. 52–58 et réimprimée dans les Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 106–107.
HerrnPincaré's Darlegungen habe ich zunächst nur die eine Bemerkung hinzuzufügen, daß ich für mein Teil nach wie vor an der Auffassung festhalte, der ich auf p. 564 des 19. Annalenbandes Ausdruck gegeben habe. Dabei will ich nicht unterlassen, ausdrücklich auf die Note auf merksam zu machen, mit welcher Hr.Fuchs von sich aus dem auf ihn bezüglichen Passus meiner Auseinandersetzung entgegengetreten ist (cf. Göttinger Nachrichten vom 4. März 1882).
Sur quelques propriétés des intégrales des équations différentielles, auxquelles satisfont les modules de périodicité des intégrales elliptiques des deux premières espèces, J. f. d. reine u. angewandte Math., t. 83 (1877), p. 13–37; Über eine Klasse von Funktionen mehrerer Variabeln, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten entstehen, ib., t. 89 (1880), p. 151–169=L. Fuchs, Ges. math. Werke, Berlin 1906, t. 2, p. 87–114 et p. 191–212.
Cf. la Correspondance déPoincaré et deFuchs, Acta math. 38 (1921), p. 175–187. Voir aussi le mémoire dePoincaré que nous avons publié dans ce volume.
Über eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich (“Das Grenzkreistheorem”), Math. Annalen, t. 20 (1882), p. 49–51=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CII, p. 627–629.
Über Funktionen, welche durch lineare Substitutionen unverändert bleiben, Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, 1882, p. 81–84=L. Fuchs, Ges. math. Abh., Berlin 1906, t. 2, p. 285–287.
Sind dieselben wirklicheindeutig? Ich verstehe nur, daß sie in jedem Wertsysteme, welches sie erreichen,unverzweigt sind. Doch kann ich mich da täuschen.
Ihre Note kommt unmittelbar hinter die meinige zu stehen!
Voir aussi le mémoire dePoincaré imprimé dans ce volume p. 58 et la Correspondance dePoincaré et deFuchs, Acta math. 38 (1921), p. 175–187.
Über eindeutige Funktionen mit linearen Substitutionen in sich (“Das Grenzkreistheorem”), Math. Annalen, t. 20 (1882), p. 49–51=Felix Klein, Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CII, p. 627–629.
Lettre no XVII.
Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 41–43.
D. h. unter den Beschränkungen des jeweiligen Satzes.
Vgl.Felix Klein, Neue Beiträge zurRiemannschen Funktionentheorie, Abschnitt IV (“Das allgemeine Fundamentaltheorem”), Math. Annalen, t. 21 (1882/83), p. 206–212=Ges. math. Abh., Berlin 1923, t. 3, Nr. CIII, p. 630–710.
Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, Acta math., t. 1 (1882), p. 193–294=Œuvres deHenri Poincaré, Paris 1916, t. 2, p. 169–257.
J. math. pures appliquées, sér. 3, t. 7 (1881), p. 375–422; ib. J. math. pures appliquées, sér. 3, t. 8 (1882), p. 251–296.
Cf. Über den Begriff des funktionentheoretischen Fundamentalbereichs, Math. Annalen, t. 40 (1892), p. 130–139=Felix Klein, Ges. math. Abh.; Berlin 1923, t. 3, Nr. CIV, p. 711–720.
Il s'agit ici des cinq mémoires suivants: Théorie des groupes fuchsiens, Acta math., t. 1 (1882), p. 1–62. Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, ib. Acta math., t. 1 (1882), p. 193–294. Mémoire sur les groupes kleinéens, ib. Acta math., t. 3 (1883), p. 49–92. Sur les groupes des équations linéaires, ib. Acta math., t. 4 (1884), p. 201–311. Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes, ib. Acta math., t. 5 (1884), p. 209–278=Œuvres deHenri Poincare, Paris 1916, t. 2, p. 108–462.
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Correspondance d'Henri Poincaré et de Felix Klein. Acta Math. 39, 94–132 (1923). https://doi.org/10.1007/BF02392858
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