Das elektrische Feld II: Kontinuierliche Ladungsverteilungen

Zusammenfassung

Im mikroskopischen Maßstab ist die elektrische Ladung quantisiert; sie tritt immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung $e$ auf. Jedoch gibt es im makroskopischen Bereich genügend Fälle, in denen viele Ladungen so dicht zusammen sind, dass man sie als über ein Raumgebiet kontinuierlich verteilt ansehen kann. Wir werden das Konzept der Ladungsdichte zusammen mit Symmetrieeigenschaften zur Beschreibung von Ladungen anwenden, ganz ähnlich wie wir die Massendichte zum Beschreiben von Masseverteilungen verwenden.

Ein Blitz ist ein elektrisches Phänomen. Während eines Blitzschlags werden Ladungen zwischen den Wolken und der Erde ausgetauscht. Das dabei abgestrahlte sichtbare Licht stammt von Luftmolekülen, die durch die entstehende Hitze in energetisch höhere Zustände gehoben werden und dann wieder zurückfallen. (© Frank Waßerführer/Pitopia.)

? Wie würden Sie die Ladung auf der Oberfläche der Erde berechnen? (Siehe Beispiel 19.15.)

Appendices

Im Kontext: Warum Gewitter nicht überall gleich häufig auftreten

Gewitter mit ihren zuckenden, oftmals stark verästelten Blitzen zählen zu den faszinierendsten Wettererscheinungen überhaupt. Sie treten fast überall auf der Erde auf, mit Ausnahme der hohen Breiten. Pro Jahr erhellt eine unvorstellbar hohe Zahl von 1,5 Milliarden Blitzen den Himmel; pro Sekunde sind das rund 50 dieser elektrischen Entladungen. In Deutschland werden im Mittel pro Jahr rund 750.000 Blitzeinschläge registriert.

Grundvoraussetzung für die Entstehung von Blitzen ist eine hohe Potenzialdifferenz zwischen zwei Gebieten mit unterschiedlicher Raumladung. Diese baut sich in zwei Schritten auf. Zunächst kommt es durch Kollision und induktive Prozesse zwischen verschiedenen Niederschlagsteilchen zur Übertragung von Ladung. Kleine Eiskristalle werden dabei meist positiv, große Niederschlagsteilchen dagegen negativ geladen. Durch die hohen Vertikalgeschwindigkeiten in den Gewitterwolken werden die kleinen Teilchen in den oberen Randbereich der Wolke transportiert, wo sich ein positives Ladungszentrum aufbaut, während im unteren Teil ein negatives Ladungszentrum vorherrscht. Im untersten Bereich der Wolke herrscht oftmals wiederum ein lokales positives Ladungszentrum vor, so dass die Wolke dann eine Tripolstruktur aufweist. Wenn die Feldstärke einen kritischen Wert überschreitet, kommt es schließlich zu Entladungsströmen in Form von Blitzen. Diese bilden sich aber nicht nur zwischen Wolken und Erdboden – tatsächlich machen diese sogar nur rund 10–15 % aller Blitze aus –, sondern auch innerhalb einer Wolke oder zwischen verschiedenen Wolken.

Neben Blitzen sind Gewitter meist mit weiteren schweren Begleiterscheinungen wie Starkniederschlägen, Starkwinden, in seltenen Fällen auch mit Hagel oder – noch seltener – mit Tornados verbunden. Dadurch können trotz der lokalen Begrenzung der Gewittersysteme immense Sachschäden entstehen. In Mitteleuropa liegen die versicherten Schäden durch Gewitter fast gleichauf mit den durch Winterstürme verursachten. Ein einzelnes Schwergewitter am 28. Juli 2013 in Süddeutschland beispielsweise beschädigte mehr als 100.000 Gebäude und Fahrzeuge bei einem Gesamtschaden von über einer Milliarde Euro.

Räumliche Verteilung der mittleren Zahl an Gewittertagen pro Sommerhalbjahr (April bis September) pro Gitterpunkt der Größe $10\times 10$ km${}^{2}$ (ein Gewittertag ist definiert bei mehr als fünf Wolke-Boden-Blitze pro Gitterpunkt) zwischen 2001 und 2014 nach Blitzdetektionen der European Cooperation for Lightning Detection (EUCLID) bzw. Siemens BLIDS. (Die Rechte an der Grafik liegen bei Piper und Kunz (aus der Publikation Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 17, 1319–1336, 2017 https://doi.org/10.5194/nhess-17-1319-2017; Creative Commons Attribution 3.0.))

Insgesamt nimmt die Zahl der Gewittertage in West- und Mitteleuropa von Nordwesten nach Südosten hin zu (siehe Abbildung). Diesem Grundmuster überlagert sind einzelne Maxima, vorzugsweise in der Nähe von Gebirgen. Über den Alpen, insbesondere über dem Alpenhauptkamm, sind Gewitter dagegen eher selten. In Deutschland liegt der Gewitterschwerpunkt am Alpenrand und im Alpenvorland mit Maxima westlich und östlich von Garmisch-Partenkirchen. Am seltensten sind Gewitter entlang der Nord- und Ostseeküste.

Die räumlichen Muster der Gewitterhäufigkeit werden vor allem von drei Faktoren gesteuert: der Entfernung zum Meer, der lokalen Topografie und der Feuchtigkeit in den bodennahen Luftschichten als Energiequelle der Gewitter. In der Umgebung von Meeren und großen Seen treten Gewitter im Sommer seltener auf, weil das Wasser aufgrund seiner hohen Wärmekapazität und der guten Durchmischung der Deckschichten dieser Gewässer die unteren Luftschichten im Sommer kühlt und damit stabilisierend wirkt. Dagegen wird über Bergen die Strömung stark modifiziert; je nach vorherrschenden atmosphärischen Bedingungen kommt es dabei vorderseitig, über oder rückseitig der Berge zum Aufsteigen von Luft und damit zur Auslösung von Gewittern. Über den zentralen Alpen ist die Feuchtigkeit durch vorgelagerte Gebirge deutlich reduziert, sodass hier Gewitter seltener auftreten.

Auch die Tages- und Jahresgänge der Gewitteraktivität sind von der Region und ihren verschiedenen Einflussgrößen bestimmt. In den meisten Gebieten treten Gewitter am häufigsten am Nachmittag und in den frühen Abendstunden auf, wenn die Sonneneinstrahlung die bodennahen Luftschichten am stärksten erwärmt hat bzw. die thermische Ausstrahlung am Oberrand der Wolken lokal zu einer Abkühlung führt. Mancherorts, wie beispielsweise am bayerischen Alpenrand, spielen aber auch nächtliche Gewitter eine wichtige Rolle. Die meisten Gewitter treten fast überall in Europa zwischen Juni und August mit einem Maximum im Juli auf. Lediglich im Einflussbereich des Mittelmeers, wo eine höhere Meeresoberflächentemperatur und damit verbunden eine erhöhte Feuchtigkeit die Gewitterentstehung begünstigt, bilden sich die meisten dieser Systeme im September.

Neben den großen räumlichen Unterschieden zeigt die Gewitteraktivität auch enorme Schwankungen von Jahr zu Jahr. Nach Analyse von Daten regionaler Klimamodelle sind diese teilweise durch großräumige, nichtperiodische Variabilitäten des Klimasystems bestimmt, die als Telekonnektionen (Verbindung von Wettervorgängen in verschiedenen Regionen der Erde) bezeichnet werden. Für Europa relevant ist beispielsweise die Nordatlantische Oszillation (NAO), die Luftdruckunterschiede über dem Nordatlantik charakterisiert. Bei positiver Phase des NAO-Index werden in vielen Regionen des Untersuchungsgebiets deutlich weniger Gewittertage beobachtet als bei neutraler oder negativer Phase. Der Grund dafür liegt in einem bei positiver Phase häufig ausgeprägten Hochdrucksystem über Mitteleuropa, bei dem großräumig absinkende Luftmassen die Entstehung von Gewittern behindern.

• 1. Piper, D., Kunz, M., „Spatiotemporal Variability of Lightning Activity in Europe and the Relation to the North Atlantic Oscillation Teleconnection Pattern“, Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 17, 2017, S. 1319–1336; doi:10.5194/nhess-17-1319-2017.

Die Arbeitsgruppe „Atmosphärische Risiken“ (hier im Jahre 2016) des Instituts für Meteorologie und Klimaforschung (IMK-TRO) am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) forscht schwerpunktmäßig über die Häufigkeit schwerer Gewittersysteme, deren Auswirkungen, Erfassung, Ursachen und räumliche sowie zeitliche Variabilität. Der Leiter der Arbeitsgruppe, apl. Prof. Dr. Michael Kunz, hat an der Universität Karlsruhe (TH) bzw. dem KIT, dem Zusammenschluss von Universität und Großforschungseinrichtung der Helmholtz-Gemeinschaft, promoviert und habilitiert. (© Florian Ehmele)

Zusammenfassung

	Thema	Wichige Gleichungen und Anmerkungen
1.	Elektrisches Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung	$\boldsymbol{E}={\displaystyle\int}\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}{\displaystyle\int\limits_{V}}\,\frac{\mskip 2.0mu\mathrm{d}q}{r^{2}}\,\boldsymbol{\widehat{r}}$   (Coulomb’sches Gesetz)   (19.4b) Hier ist $\mskip 2.0mu\mathrm{d}q=\rho\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}V$ für eine Raumladung, $\mskip 2.0mu\mathrm{d}q=\sigma\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A$ für eine Flächenladung und $\mskip 2.0mu\mathrm{d}q=\lambda\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}l$ für eine Linienladung einzusetzen.
2.	Elektrischer Fluss	$\varPhi_{\text{el}}=\lim_{\Updelta\boldsymbol{A}_{i}\to 0}\sum\limits_{i}\boldsymbol{E}_{i}\cdot\Updelta\boldsymbol{A}_{i}={\displaystyle\int\limits_{A}}\boldsymbol{E}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{A}$   (19.12)
3.	Gauß’sches Gesetz	$\varPhi_{\text{el}}={\displaystyle\oint\limits_{A}}\boldsymbol{E}\cdot\mskip 2.0mu\mathrm{d}\boldsymbol{A}={\displaystyle\oint\limits_{A}}E_{n}\,\mskip 2.0mu\mathrm{d}A=\frac{q_{\text{innen}}}{\varepsilon_{0}}$   (19.15) Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche nach außen ist gleich dem Quotienten aus der Gesamtladung $q$ innerhalb der Oberfläche, dividiert durch die elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante) $\varepsilon_{0}$.
4.	Dielektrizitätskonstante $\boldsymbol{\varepsilon_{0}}$	$\varepsilon_{0}=8{,}85\cdot 10^{-12}\,\text{C}/(\text{N}\cdot\text{m}^{2})$   (18.3b)
5.	Diskontinuität von E ${}_{\boldsymbol{n}}$	Auf einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte $\sigma$ hat die Normalkomponente $E_{n}$ des elektrischen Felds eine Unstetigkeit: $\Updelta E_{n}=E_{n,+}-E_{n,-}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$   (19.19)
6.	Ladung auf einem Leiter	Im elektrostatischen Gleichgewicht ist die Ladungsdichte im Inneren eines Leiters überall null. Wird ein Leiter geladen, so verteilt sich die Ladung gleichmäßig auf seiner Oberfläche.
7.	$\boldsymbol{E}$ außerhalb des Leiters	Das elektrische Feld unmittelbar außerhalb der Leiteroberfläche steht senkrecht zur Oberfläche und hat die Normalkomponente $E_{n}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\,$.   (19.20) Dabei ist $\sigma$ die lokale Oberflächenladungsdichte in diesem Punkt des Leiters.
8.	Elektrische Felder homogener Ladungsverteilungen
	Linienladung unendlicher Länge	$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2\,\lambda}{r_{{}_{\bot}}}=\frac{1}{2\uppi\varepsilon_{0}}\,\frac{\lambda}{r_{\bot}}$   (19.6)
	Auf der Achse eines geladenen Rings	$E_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q\,z}{(z^{2}+a^{2})^{3/2}}$   (19.7)
	Auf der Achse einer geladenen Kreisscheibe	$E_{z}=\mathop{\mathrm{sgn}}(z)\cdot\frac{\sigma}{2\,\varepsilon_{0}}\,\left(1-\left(1+\frac{r^{2}}{z^{2}}\right)^{-1}\right)$   (19.8)
	Einer geladenen, unendlich ausgedehnten Ebene	$E=E_{z}=\mathop{\mathrm{sgn}}(z)\cdot\frac{\sigma}{2\,\varepsilon_{0}}$   (19.9)
	Einer geladenen Kugelschale	$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q}{r^{2}}\phantom{0}\qquad r> r_{\text{K}}$   (19.16a) $E=0\phantom{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{q}{r^{2}}}\qquad r<r_{\text{K}}$   (19.16b)

Antwort auf die Kurzfrage

• 19.1 $\boldsymbol{E}$ im Gauß’schen Gesetz ist das elektrische Feld, das von allen Ladungen verursacht wird. Der elektrische Fluss aufgrund aller Ladungen außerhalb der Fläche ist jedoch null. Daher ist der Fluss des elektrischen Felds aufgrund von allen Ladungen gleich dem Fluss des Felds, das allein durch die Ladungen im Inneren verursacht wird.

Lösungen der Zusatzaufgaben

• 19.1 ${\displaystyle}E_{x}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\lambda\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\right)$. Für $x> x_{2}$ gilt $r_{2}<r_{1}$. Dann ist $\dfrac{1}{r_{2}}> \dfrac{1}{r_{1}}$, woraus $E_{x}> 0$ folgt.

• 19.2 Nein. Nach der Symmetrie muss $E_{z}$ für $z=0$ gleich null sein, die Gleichung in Schritt 3 gibt dagegen für $z=0$ einen negativen Wert von $E_{z}$ an. Diese Ergebnisse widersprechen sich und können daher nicht beide gelten.

• 19.3 $z=a/\sqrt{2}$

• 19.4 80 %

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

19.1

• Richtig oder falsch? a) Das elektrische Feld, das von einer homogen geladenen dünnen Hohlkugelschale verursacht wird, ist in allen Punkten innerhalb der Schale null. b) Im elektrostatischen Gleichgewicht muss das elektrische Feld überall im Inneren eines Leiters null sein. c) Wenn die Gesamtladung eines Leiters null ist, muss die Ladungsdichte in jedem Punkt auf der Oberfläche des Leiters null sein.

19.2

•• Eine einzelne Punktladung $q$ befindet sich im Mittelpunkt sowohl eines imaginären Würfels als auch einer imaginären Kugel. In welchem Verhältnis zueinander stehen der elektrische Fluss durch die Oberfläche des Würfels und der Fluss durch die Oberfläche der Kugel? Erläutern Sie Ihre Antwort.

19.3

•• Begründen Sie, warum die elektrische Feldstärke zwischen dem Mittelpunkt und der Oberfläche einer homogen geladenen Vollkugel proportional zu $r$ zunimmt, anstatt proportional zu $1/r^{2}$ abzunehmen.

19.4

•• Die Gesamtladung auf der leitenden Kugelschale in Abb. 19.37 ist null. Die negative Punktladung im Mittelpunkt hat die Ladungsmenge $q$. Welche Richtung hat das elektrische Feld in den folgenden Bereichen?  a)  $r<r_{1}$ ,  b)  $r_{1}<r<r_{2}$ ,  c)  $r> r_{2}$ .  Erläutern Sie Ihre Antwort.

Abb. 19.37

Zu Aufgabe 19.5 und 19.6

19.5

•• Die leitende Kugelschale in Abb. 19.37 ist außen geerdet. Die negative Punktladung im Mittelpunkt hat die Ladungsmenge $q$. Welche der folgenden Aussagen trifft zu? a) Die Ladung auf der inneren Oberfläche der Kugelschale ist $+q$, und die Ladung auf der äußeren Oberfläche ist $-q$.  b) Die Ladung auf der inneren Oberfläche der Kugelschale ist $q$, und die Ladung auf der äußeren Oberfläche ist null. c) Die Ladung auf beiden Oberflächen der Kugelschale ist $+q$.  d) Die Ladung auf beiden Oberflächen der Kugelschale ist null.

19.6

•• Die leitende Kugelschale in Abb. 19.37 ist außen geerdet. Die negative Punktladung im Mittelpunkt trägt die Ladungsmenge $q$. Welche Richtung hat das elektrische Feld in den folgenden Bereichen? a) $r<r_{1}$, b)  $r_{1}<r<r_{2}$ , c) $r> r_{2}$.  Erläutern Sie Ihre Antwort.

19.7

••• Wie würde es sich äußern, wenn das gesamte Universum (das wir als unendlich annehmen) mit einer konstanten Ladungsdichte $\rho$ gefüllt wäre? Diskutieren Sie konzeptionelle Schwierigkeiten, die sich bei der physikalischen Interpretation dieser Situation ergeben.

19.8

•• Ist es möglich, eine kontinuierliche Ladungsverteilung zu finden, bei der in einem Raumgebiet kein elektrisches Feld vorliegt?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

19.9

•• An einem Punkt auf der Achse einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius $r$ ist das elektrische Feld gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle|E|=\frac{\sigma}{2\,\varepsilon_{0}}\left[1-\left(1+\frac{r^{2}}{z^{2}}\right)^{\!\!-1/2}\,\right]\> .\end{aligned}$$

Bei großem Abstand ($|z|\gg r$) nähert sich das Feld dem Ausdruck $E\approx(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,q/z^{2}$ an, und sehr nahe bei der Scheibe (also bei $|z|\ll r$) ist das Feld näherungsweise dasselbe wie bei einer unendlich ausgedehnten geladenen Ebene, wobei gilt: $|E|\approx\sigma/(2\,\varepsilon_{0})$. Sie haben eine Scheibe mit einem Radius von 2,5 cm mit einer homogenen Flächenladungsdichte von 3,6 $\upmu$C$/$m${}^{2}$. Wenden Sie sowohl den exakten Ausdruck als auch die Näherungsausdrücke an und bestimmen Sie die elektrische Feldstärke auf der Achse im Abstand a) 0,010 cm, b) 0,040 cm bzw. c) 5,0 m von der Scheibe. Vergleichen Sie jeweils die beiden Werte und beurteilen Sie, wie gut die Näherung im betreffenden Gültigkeitsbereich ist.

1.3 Berechnung von E aus dem Coulomb’schen Gesetz

19.10

•• Eine homogene Linienladung mit der linearen Ladungsdichte $\lambda=\mathrm{3{,}5\,nC/m}$ erstreckt sich auf der $x$-Achse von $x=0$ bis $x=\mathrm{5{,}0\,m}$. a) Wie groß ist die Gesamtladung? Berechnen Sie das elektrische Feld auf der $x$-Achse bei b) $x=\text{6,0\,m}$, c) $x=\text{9,0\,m}$ und d) $x=\text{250\,m}$. e) Bestimmen Sie das Feld bei $x=\text{250\,m}$, jedoch mit der Näherung, dass die Ladung eine Punktladung bei $x=\text{2,5\,m}$ ist, und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der exakten Berechnung in Teilaufgabe d. (Dafür müssen Sie annehmen, dass die ermittelten Zahlenwerte auf mehr als zwei signifikante Stellen gelten.) Ist ihr Näherungsergebnis größer oder kleiner als das exakte Ergebnis? Erläutern Sie Ihre Antwort.

19.11

•• a) Zeigen Sie, dass die elektrische Feldstärke $E$ auf der Achse einer Ringladung vom Radius $a$ Maximalwerte bei $z=+a/\sqrt{2}$ und $z=-a/\sqrt{2}$ hat. b) Skizzieren Sie den Verlauf von $E$ in Abhängigkeit von $z$ für positive und für negative $z$-Werte. c) Bestimmen Sie den Maximalwert von $E$.

19.12

•• Eine Linienladung mit einer homogenen linearen Ladungsdichte $\lambda$ erstreckt sich längs der $x$-Achse von $x=x_{1}$ bis $x=x_{2}$ (mit $x_{1}<x_{2}$). Zeigen Sie, dass die $x$-Komponente des elektrischen Felds an einem Punkt auf der $y$-Achse bei $y\neq 0$ gegeben ist durch

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{x}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{\lambda}{y}\,(\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1})\,.\end{aligned}$$

Dabei ist $\theta_{1}=\mathop{\mathrm{atan}}(x_{1}/y)$ und $\theta_{2}=\mathop{\mathrm{atan}}(x_{2}/y)$.

19.13

•• Ein Ring vom Radius $r_{\mathrm{R}}$ hat eine Ladungsverteilung $\lambda(\theta)=\lambda_{0}\,\sin\theta$ (Abb. 19.38). a) In welche Richtung zeigt das elektrische Feld im Ringmittelpunkt? b) Welchen Betrag hat das Feld im Ringmittelpunkt?

Abb. 19.38

Zu Aufgabe 19.13

19.14

••• Eine dünne Halbkugelschale vom Radius $r_{\mathrm{K}}$ hat eine homogene Flächenladungsdichte $\sigma$. Bestimmen Sie das elektrische Feld im Mittelpunkt der Basis der Halbkugelschale.

1.4 Das Gauß’sche Gesetz

19.15

• Wir betrachten ein homogenes elektrisches Feld $\boldsymbol{E}=\mathrm{(2{,}00\boldsymbol{\widehat{x}}\,)\,kN/C}$.  a) Wie groß ist der elektrische Fluss dieses Felds durch eine quadratische Fläche der Seitenlänge 10 cm, die auf der $x$-Achse zentriert ist und deren Normale in die positive $x$-Richtung weist? b) Wie groß ist der elektrische Fluss durch dieselbe Quadratfläche, wenn ihre Normale mit der $y$-Achse den Winkel 60${}^{\circ}$ und mit der $z$-Achse den Winkel 90${}^{\circ}$ einschließt?

19.16

•• Weil das Newton’sche Gravitationsgesetz und das Coulomb’sche Gesetz dieselbe Abstandsabhängigkeit in Form eines $(1/r^{2})$-Gesetzes aufweisen, kann man in Analogie zum Gauß’schen Gesetz für den elektrischen Fluss auch einen Ausdruck für den Vektorfluss des Gravitationsfelds aufstellen. Das Gravitationsfeld $\boldsymbol{G}$ in einem Punkt kann als die Kraft pro Masseneinheit auf eine Probemasse $m_{0}$ in diesem Punkt definiert werden. Bei einer felderzeugenden Masse $m$ im Ursprung des Koordinatensystems ist das Gravitationsfeld an einem Ort $\boldsymbol{\widehat{r}}$ gegeben durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{G}=-\varGamma\,\frac{m}{r^{2}}\;\boldsymbol{\widehat{r}}\,.\end{aligned}$$

Ermitteln Sie den Fluss des Gravitationsfelds durch eine Kugeloberfläche mit dem Radius $r_{\mathrm{K}}$ und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Zeigen Sie, dass – in Analogie zum Gauß’schen Gesetz für den elektrischen Fluss – für die Gravitation gilt: $\varPhi_{\mathrm{grav}}=-4\,\uppi\,\varGamma\,m_{\mathrm{innen}}$.

19.17

•• Ein imaginärer senkrechter Kreiskegel (Abb. 19.39) mit dem Basiswinkel $\theta$ und dem Basisradius $r_{\mathrm{K}}$ befindet sich in einem ladungsfreien Gebiet mit einem homogenen elektrischen Feld $\boldsymbol{E}$ (die Feldlinien verlaufen vertikal, also parallel zur Kegelachse). In welchem Verhältnis steht die Anzahl der Feldlinien pro Einheitsfläche, die die Kegelbasis durchdringen, zu der Anzahl der Feldlinien pro Einheitsfläche, die die Mantelfläche des Kegels durchdringen? Wenden Sie das Gauß’sche Gesetz an. (Die in der Abbildung gezeigten Feldlinien sind nur repräsentative Beispiele.)

Abb. 19.39

Zu Aufgabe 19.17

19.18

•• In einem bestimmten Gebiet der Erdatmosphäre wurde das elektrische Feld oberhalb der Erdoberfläche mit folgenden Ergebnissen gemessen: 150 N$/$C in 250 m Höhe und 170 N$/$C in 400 m Höhe. In beiden Fällen ist das elektrische Feld nach unten zur Erde gerichtet. Berechnen Sie die Raumladungsdichte der Atmosphäre zwischen 250 m und 400 m Höhe, unter der Annahme, dass sie in diesem Bereich homogen ist. (Die Erdkrümmung kann vernachlässigt werden. Warum?)

1.5 Anwendungen des Gauß’schen Gesetzes bei Kugelsymmetrie

19.19

• Eine dünne, nichtleitende Kugelschale vom Radius $r_{\mathrm{{K},1}}$ trägt eine Gesamtladung $q_{1}$, die gleichmäßig auf ihrer Oberfläche verteilt ist. Eine zweite, größere Kugelschale mit dem Radius $r_{\mathrm{{K},2}}$, die konzentrisch zur ersten ist, trägt eine Ladung $q_{2}$, die ebenfalls gleichmäßig auf ihrer Oberfläche verteilt ist. a) Wenden Sie das Gauß’sche Gesetz an und bestimmen Sie das elektrische Feld in den Bereichen $r<r_{\mathrm{{K},1}}$ und $r_{\mathrm{K,1}}<r<r_{\mathrm{{K},2}}$ sowie $r> r_{\mathrm{{K},2}}$.  b) Wie müssen Sie das Verhältnis der Ladungen $q_{1}/q_{2}$ und deren relative Vorzeichen wählen, damit das elektrische Feld im Bereich $r> r_{\mathrm{{K},2}}$ gleich null ist? c) Skizzieren Sie die elektrischen Feldlinien für die Situation in Teilaufgabe b, wenn $q_{1}$ positiv ist.

19.20

•• Betrachten Sie die leitende Vollkugel und die konzentrisch zu ihr angeordnete leitende Kugelschale in Abb. 19.40. Die Kugelschale trägt die Ladung $-7\,q$ und die Vollkugel die Ladung $+2\,q$.  a) Welche Ladungsmenge befindet sich auf der äußeren Oberfläche der Kugelschale und welche auf ihrer inneren? b) Nun wird zwischen der Kugelschale und der Kugel ein Metalldraht eingezogen. Welche Ladungsmengen befinden sich nach Erreichen des elektrostatischen Gleichgewichts auf der Kugel und auf den Oberflächen der Kugelschale? Ändert sich das elektrische Feld an der Oberfläche der Kugel, wenn der Draht eingezogen wird? Wenn ja, in welcher Weise? c) Wir kehren nun zu den Gegebenheiten von Teilaufgabe a zurück. Dann verbinden wir die Kugelschale über einen Metalldraht mit der Erde und unterbrechen die Verbindung wieder. Welche Ladungsmengen befinden sich nun auf der Kugel und auf den Oberflächen der Kugelschale?

Abb. 19.40

Zu Aufgabe 19.20

19.21

•• Eine nichtleitende Kugel mit dem Radius $r_{\mathrm{{K}}}$ trägt eine Raumladungsdichte, die proportional zum Abstand vom Mittelpunkt ist: $\rho=B\,r$ bei $r<r_{\mathrm{{K}}}$. Darin ist $B$ eine Konstante. Bei $r> r_{\mathrm{{K}}}$ ist $\rho=0$.  a) Bestimmen Sie die Gesamtladung der Kugel, indem Sie die Ladungen auf Kugelschalen der Dicke ${\mskip 2.0mu\mathrm{d}}r$ und des Volumens $4\uppi\,r^{2}\,{\mskip 2.0mu\mathrm{d}}r$ integrieren. b) Bestimmen Sie das elektrische Feld $E$ innerhalb und außerhalb der Ladungsverteilung. c) Skizzieren Sie das elektrische Feld $E$ in Abhängigkeit vom Abstand $r$ vom Kugelmittelpunkt.

19.22

•• Wiederholen Sie Aufgabe 19.21 für eine Kugel mit einer Raumladungsdichte $\rho=C/r$ bei $r<r_{\mathrm{{K}}}$ und $\rho=0$ bei $r> r_{\mathrm{{K}}}$ (darin ist $C$ eine Konstante).

1.6 Anwendungen des Gauß’schen Gesetzes bei Zylindersymmetrie

19.23

•• Im Physikpraktikum bauen Sie ein Geiger-Müller-Zählrohr zum Nachweis ionisierender Strahlung. Das Zählrohr besteht aus einer langen zylindrischen Röhre, entlang deren Achse ein dünner Metalldraht gespannt ist. Der Draht hat eine Dicke von 0,500 mm, und der Innendurchmesser des Zählrohrs beträgt 4,00 cm. Das Zählrohr wird mit einem verdünnten Gas gefüllt, in dem eine Gasentladung (ein Spannungsdurchbruch im Gas) stattfindet, wenn die elektrische Feldstärke einen Wert von $\mathrm{5{,}50\cdot 10^{6}\,N/C}$ erreicht. Bestimmen Sie den Maximalwert der linearen Ladungsdichte auf dem Draht, bei der noch kein Spannungsdurchbruch auftritt. Nehmen Sie an, das Zählrohr und der Draht seien unendlich lang.

19.24

•• Ein unendlich langer nichtleitender, massiver Zylinder mit einem Radius $r_{\mathrm{{Z}}}$ trägt eine homogene Raumladungsdichte $\rho(r)=\rho_{0}$. Zeigen Sie, dass das elektrische Feld durch

$$\begin{aligned}\displaystyle E_{\mathrm{n}}=\frac{\rho_{0}}{2\,\varepsilon_{0}}\,r_{\perp}&\displaystyle\qquad\text{bei}\quad 0<r_{\perp}<r_{\mathrm{{Z}}}\,,\\ \displaystyle E_{\mathrm{n}}=\frac{\rho_{0}\,r_{\mathrm{{Z}}}^{2}}{2\,\varepsilon_{0}\,r_{\perp}}&\displaystyle\qquad\text{bei}\quad r_{\perp}> r_{\mathrm{Z}}\end{aligned}$$

gegeben ist. Dabei ist $r_{\perp}$ der Abstand von der Längsachse des Zylinders.

19.25

•• Abb. 19.41 zeigt einen Ausschnitt aus einem unendlich langen Koaxialkabel. Der innere Leiter trägt eine Ladungsdichte von 6,00 nC$/$m, der äußere Leiter ist ungeladen. a) Bestimmen Sie das elektrische Feld für alle Werte des Abstands $r$ von der Achse des konzentrischen Zylindersystems. b) Wie groß sind die Oberflächenladungsdichten auf der inneren und auf der äußeren Oberfläche des äußeren Leiters?

Abb. 19.41

Zu Aufgabe 19.25

19.26

••• Betrachten Sie noch einmal das Geiger-Müller-Zählrohr aus Aufgabe 19.23. Ionisierende Strahlung habe in einem Abstand von 2,00 cm von der Längsachse des Drahts im Zählrohr ein Ion und ein Elektron erzeugt. Der Draht soll positiv geladen sein und eine lineare Ladungsdichte von 76,5 pC$/$m tragen. a) Welche Geschwindigkeit hat in diesem Fall das Elektron, wenn es auf den Draht auftrifft? b) Vergleichen Sie die Elektronengeschwindigkeit mit der Endgeschwindigkeit des Ions, wenn es auf die Innenfläche des Zählrohrs auftrifft. Erläutern Sie Ihre Antwort.

1.7 Elektrische Ladungen und Felder an Leiteroberflächen

19.27

• Eine ungeladene Kupfermünze befindet sich in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke 1,60 kN$/$C, das senkrecht auf ihren kreisförmigen Flächen steht. a) Bestimmen Sie die Ladungsdichte auf jeder Seite der Kupfermünze unter der Annahme, dass diese Flächen eben sind. b) Bestimmen Sie die Gesamtladung auf einer der Flächen, wenn der Radius der Münze 1,00 cm beträgt.

19.28

•• Das nach unten gerichtete elektrische Feld unmittelbar über der Erdoberfläche wurde zu 150 N$/$C gemessen. a) Welches Vorzeichen hat demnach die Gesamtladung auf der Erdoberfläche? b) Auf welche Gesamtladung an der Erdoberfläche deutet diese Messung hin?

19.29

•• Wenn die Stärke eines elektrischen Felds in Luft etwa $\mathrm{3{,}010^{6}\,N/C}$ beträgt, dann wird die Luft ionisiert und somit elektrisch leitend. Dieses Phänomen wird als dielektrischer Durchschlag (oder dielektrische Entladung) bezeichnet. Eine Ladung von 18 $\upmu$C wird auf eine leitende Kugel gebracht. Bei welchem Minimalradius kann die Kugel diese Ladung gerade noch halten, ohne dass es zu einem Durchschlag kommt?

1.8 Allgemeine Aufgaben

19.30

•• Betrachten Sie die drei in Abb. 19.42 dargestellten konzentrischen Kugeln bzw. Kugelschalen aus Metall. Kugel 1 ist eine Vollkugel mit dem Radius $r_{\mathrm{K,1}}$, Kugel 2 eine Hohlkugel mit dem Innenradius $r_{\mathrm{K,2}}$ und dem Außenradius $r_{\mathrm{K,3}}$ und Kugel 3 eine Hohlkugel mit dem Innenradius $r_{\mathrm{K,4}}$ und dem Außenradius $r_{\mathrm{K,5}}$. Zu Beginn sind alle drei Kugeln ungeladen. Dann wird eine negative Ladung $-q_{0}$ auf die Kugel 1 und eine positive Ladung $+q_{0}$ auf die Hohlkugel 3 gebracht. a) In welche Richtung zeigt das elektrische Feld in dem Raum zwischen den Kugeln 1 und 2, wenn sich elektrostatisches Gleichgewicht eingestellt hat? b) Wie groß ist die Ladung auf der inneren Oberfläche der Hohlkugel 2? Geben Sie das Vorzeichen dieser Ladung an. c) Wie groß ist die Ladung auf der äußeren Oberfläche der Hohlkugel 2? d) Wie groß ist die Ladung auf der inneren Oberfläche der Hohlkugel 3? e) Wie groß ist die Ladung auf der äußeren Oberfläche der Hohlkugel 3? f) Skizzieren Sie $E$ in Abhängigkeit von $r$.

Abb. 19.42

Zu Aufgabe 19.30

19.31

•• Eine dünne nichtleitende, homogen geladene Kugelschale vom Radius $r$ (Abb. 19.43a) trägt eine Gesamtladung $q$. Ein kleiner kreisförmiger Stöpsel wird aus der Oberfläche entfernt. a) Geben Sie Betrag und Richtung des elektrischen Felds im Zentrum des Lochs an. b) Der Stöpsel wird wieder in das Loch eingesetzt (Abb. 19.43b). Ermitteln Sie anhand des Ergebnisses von Teilaufgabe a einen Ausdruck für die elektrostatische Kraft auf den Stöpsel. c) Ermitteln Sie anhand des Betrags der Kraft einen Ausdruck für den elektrostatischen Druck (also die Kraft pro Einheitsfläche), der versucht, die Kugelschale auszudehnen.

Abb. 19.43

Zu Aufgabe 19.31

19.32

•• Eine unendlich ausgedehnte Ebene in der $x$-$z$-Ebene (also bei $y=0$) trägt eine homogene Oberflächenladungsdichte $\sigma_{1}=+\mathrm{65\,nC/m^{2}}$. Eine zweite unendlich ausgedehnte Ebene mit einer homogenen Ladungsdichte $\sigma_{2}=+\mathrm{45\,nC/m^{2}}$ schneidet die $x$-$z$-Ebene auf der $z$-Achse und schließt mit der $x$-$z$-Ebene einen Winkel von 30${}^{\circ}$ ein (Abb. 19.44). Bestimmen Sie das elektrische Feld a) bei $x=\text{6,0\,m}$, $y=\text{2,0\,m}$ und b) bei $x=\text{6,0\,m}$, $y=\text{5,0\,m}$.

Abb. 19.44

Zu Aufgabe 19.32

19.33

•• Eine quantenmechanische Betrachtung des Wasserstoffatoms zeigt, dass man das Elektron in diesem Atom als eine verschmierte negative Ladungsverteilung mit der Abstandsabhängigkeit $\rho(r)=-\rho_{0}\;\mathrm{e}^{-2\,r/a}$ betrachten kann. Darin ist $r$ der Abstand vom Kern und $a$ der erste Bohr’sche Radius ($a=\text{0{,}0529\,nm}$). Der Kern des Wasserstoffatoms besteht aus einem Proton, das Sie hier als positive Punktladung betrachten können. a) Berechnen Sie $\rho_{0}$ unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Atom ungeladen ist. b) Geben Sie das elektrische Feld in Abhängigkeit vom Abstand $r$ vom Kern an.

19.34

•• Ein ruhender Ring mit dem Radius $r_{\mathrm{R}}$ liegt in der $y$-$z$-Ebene und trägt eine positive Ladung $q$, die gleichmäßig über seine Länge verteilt ist. Ein Punktteilchen mit der Masse $m$ und der negativen Ladung $-q$ befindet sich im Mittelpunkt des Rings. a) Zeigen Sie, dass bei $x\ll r_{\mathrm{R}}$ das elektrische Feld längs der Ringachse proportional zu $x$ ist. b) Bestimmen Sie die Kraft auf das Teilchen mit der Masse $m$ als Funktion von $x$.  c) Zeigen Sie, dass das Teilchen nach einer kleinen Auslenkung in positive $x$-Richtung eine harmonische Schwingung ausführt. d) Welche Frequenz hat diese Schwingung?

19.35

•• Eine homogen geladene, nichtleitende Vollkugel mit dem Radius $a$ und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung hat eine Raumladungsdichte $\rho$.  a) Zeigen Sie, dass an einem Punkt innerhalb der Kugel im Abstand $r$ vom Mittelpunkt das elektrische Feld durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{3\,\varepsilon_{0}}\,r\,\boldsymbol{\widehat{r}}\end{aligned}$$

zu beschreiben ist. b) Nun wird Material aus der Kugel so entfernt, dass ein kugelförmiger Hohlraum mit dem Radius $b\!=\!a/2$ und dem Mittelpunkt bei $x=b$ auf der $x$-Achse entsteht (Abb. 19.45). Ermitteln Sie das elektrische Feld in den Punkten 1 und 2, die in der Abbildung eingezeichnet sind. (Hinweis:Ersetzen Sie die Kugel mit Hohlraum durch zwei gleich große homogene Kugeln mit positiver bzw. negativer Ladungsdichte gleichen Betrags.)

Abb. 19.45

Zu Aufgabe 19.35 und 19.37

19.36

•• Betrachten Sie ein einfaches, aber überraschend genaues Modell des Wasserstoffmoleküls: Zwei positive Punktladungen mit jeweils der Ladung $+e$ befinden sich innerhalb einer Kugel vom Radius $r$ mit homogener Ladungsdichte und einer Gesamtladung von $-2\,e$. Die zwei Punktladungen sind räumlich symmetrisch, also gleich weit vom Kugelmittelpunkt angeordnet (Abb. 19.46). Bestimmen Sie den Abstand $a$ vom Kugelmittelpunkt, bei dem die resultierende Kraft auf jede der beiden Punktladungen gleich null ist.

Abb. 19.46

Zu Aufgabe 19.36

19.37

••• Zeigen Sie, dass das elektrische Feld in dem Hohlraum der Kugel von Aufgabe 19.35b homogen ist und durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{E}=\frac{\rho\,b}{3\,\varepsilon_{0}}\;\boldsymbol{\widehat{x}}\end{aligned}$$

zu beschreiben ist.

19.38

••• Eine kleine Gauß’sche Oberfläche in Form eines Würfels mit Flächen, die parallel zur $x$-$y$-, zur $x$-$z$- und zur $y$-$z$-Ebene liegen (Abb. 19.47), befindet sich in einem Raumbereich, in dem ein elektrisches Feld parallel zur $x$-Achse gerichtet ist. a) Zeigen Sie mithilfe der Taylor-Reihe (unter Vernachlässigung aller Terme ab zweiter Ordnung), dass der Gesamtfluss des elektrischen Felds aus der Gauß’schen Oberfläche durch

$$\begin{aligned}\displaystyle\varPhi_{\mathrm{el}}\approx\frac{\partial E_{x}}{\partial x}\,\Updelta V\end{aligned}$$

gegeben ist; darin ist $\Updelta V$ das von der Gauß’schen Oberfläche eingeschlossene Volumen. b) Zeigen Sie mithilfe des Gauß’schen Gesetzes und der Ergebnisse der Teilaufgabe a, dass gilt:

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial E_{x}}{\partial x}\approx\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,.\end{aligned}$$

Darin ist $\rho$ die Raumladungsdichte innerhalb des Würfels. (Diese Gleichung ist die eindimensionale Version des Gauß’schen Satzes.)

Abb. 19.47

Zu Aufgabe 19.38