Kinematik des starren Körpes – wie Gegenstände sich bewegen

Zusammenfassung

Nachdem der Massenpunkt und Systeme von Massenpunkten behandelt wurden, soll als nächstes Element der Modellierung der starre Körper betrachtet werden. Obwohl wir wissen, dass es in Wirklichkeit keine ideal starren Körper gibt, stellt er doch eine nützliche Idealisierung der Wirklichkeit dar, da die elastischen Verformungen bei sehr vielen Anwendungen vernachlässigt werden können oder nur in speziellen Situationen, z. B. bei Stoßproblemen wichtig sind. Die Beschreibung der Bewegung der einzelnen Punkte des starren Körpers kann dann über die Beschreibung der Bewegung eines Referenzpunktes auf dem starren Körper und mithilfe der Orientierung des Körpers erfolgen. Damit genügen wenige Parameter zur Beschreibung der Lage aller Punkte eines starren Körpers.

Während die Beschreibung der Lage eines Punktes im Raum einfach durch die Angaben von drei Koordinaten erfolgen kann, gestaltet sich die Beschreibung der Orientierung des starren Körpers im Allgemeinen schwieriger. Trotzdem ist die Orientierung eines starren Körpers wichtig.

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit eines allgemeinen Punktes des starren Körpers muss die Winkelgeschwindigkeit eingeführt werden. Im Falle der ebenen Bewegung ist diese ein Vektor, der stets senkrecht zur Bewegungsebene steht und deshalb über eine skalare Größe beschrieben werden kann. Bei einer allgemeinen Bewegung sind sowohl die Beschreibung der Orientierung als auch die Beschreibung der Winkelgeschwindigkeit wesentlich schwieriger als im ebenen Fall. Wenn Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Bezugspunktes auf dem Körper und die Orientierung,Winkelgeschwindigkeit undWinkelbeschleunigung des Körpers bekannt sind, lassen sich Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines beliebigen Punktes auf dem Körper angeben.

Appendices

Antworten zu den Verständnisfragen

Antwort 9.1

3, 3

Antwort 9.2

Änderung des Betrages, Änderung der Richtung.

Antwort 9.3

Das Rad dreht sich nicht mehr und führt eine reine Translationsbewegung aus. Damit liegt der Momentanpol im Unendlichen.

Antwort 9.4

121, 123, 131, 132, 212, 213, 231, 232, 312, 321, 323.

Aufgaben

Im Folgenden finden Sie Aufgaben zu dem im Kapitel besprochenen Thema. Wenn es sich um Rechenaufgaben handelt, ist der Schwierigkeitsgrad angegeben (• leicht, •• mittel, ••• schwer), und eine Ergebniszeile zeigt das zu erwartende Ergebnis.

Die Lösungen zu allen Aufgaben finden Sie auf der Internetseite des Buches.

.1

• Gegeben ist der abgebildete Schubkurbelmechanismus

Bestimmen Sie die Koordinaten des Momentanpols der Koppelstange in der augenblicklichen Stellung.

Hinweis:

Führen Sie den Winkel ψ zwischen der Pleuelstange und der y-Achse ein

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle y_{\mathrm{P}}&\displaystyle=r\sin\varphi+l\sqrt{1-\frac{r^{2}}{l^{2}}\cos^{2}\varphi}\\ \displaystyle x_{\mathrm{P}}&\displaystyle=r\cos\varphi+\frac{l}{\tan\varphi}\sqrt{1-\frac{r^{2}}{l^{2}}\cos^{2}\varphi}\end{aligned}$$

.2

• Bei Kardanwinkeln wird ein Körper zunächst um die 1-Achse, dann um die neue 2${}^{\prime}$-Achse und zum Schluss um die 3${}^{\prime\prime}$-Achse gedreht. Wie läßt sich die Winkelgeschwindigkeit des Körpers mit den Einheitsvektoren i₁, $\boldsymbol{k}_{2}^{\prime}$ und $\boldsymbol{k}_{3}^{\prime\prime}$ ausdrücken, wenn die Verdrehwinkel α, β und γ sind?

Hinweis:

Es handelt sich um drei Elementardrehungen

Resultat:

$$\displaystyle\boldsymbol{\omega}=\dot{\alpha}\boldsymbol{i}_{1}+\dot{\beta}\boldsymbol{k}_{2}^{\prime}+\dot{\gamma}\boldsymbol{k}_{3}^{\prime\prime}$$

.3

•• Bei welchem Winkel führen die Umrechnungen der Winkelgeschwindigkeiten ω₁, ω₂ und ω₃ bei Verwendung von Kardanwinkeln (vgl. Aufgabe 9.2) zu Schwierigkeiten, da Singularitäten auftreten?

Resultat:

$\beta=\pm 90^{\circ}$

.4

• Oft nehmen wir an, dass die Erde ein Inertialsystem ist. Näherungsweise ist diese Annahme natürlich gerechtfertigt. Bei einer genaueren Betrachtung ist die Erde jedoch ein Körper, der eine Winkelgeschwindigkeit um die Polachse hat. In welche Richtung kann ein Mensch auf der Erdoberfläche am Äquator gehen, sodass aufgrund der Erddrehung keine Coriolisbeschleunigung auftritt? Tritt am Nord- oder am Südpol eine entsprechende Coriolisbeschleunigung auf? Wie sieht es aus, wenn man am Äquator beziehungsweise an einem der Pole einen Stein in einen tiefen Brunnen fallen läßt?

Resultat:

Richtungen ohne Coriolisbeschleunigung: nord-süd-Richtung am Äquator. Am Nord- und am Südpol tritt Coriolisbeschleunigung auf. Stein in Brunnen: am Äquator tritt Coriolisbeschleunigung auf, an den Polen nicht.

.5

••• Wie lautet die Drehmatrix bei Kardanwinkeln, wenn die Drehwinkel um die 1-Achse mit α, um die 2${}^{\prime}$-Achse mit β und um die 3${}^{\prime\prime}$-Achse mit γ bezeichnet werden?

Hinweis:

Führen Sie Zwischensysteme ein

Resultat:

$$\displaystyle\begin{pmatrix}\boldsymbol{k}_{1}\\ \boldsymbol{k}_{2}\\ \boldsymbol{k}_{3}\end{pmatrix}=m^{\mathrm{K}}\begin{pmatrix}\boldsymbol{i}_{1}\\ \boldsymbol{i}_{2}\\ \boldsymbol{i}_{3}\end{pmatrix}$$

mit

$$\begin{aligned}\displaystyle m_{11}^{\mathrm{K}}&\displaystyle=\cos\beta\cos\gamma,\quad m_{12}^{\mathrm{K}}=\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma,\\ \displaystyle m_{13}^{\mathrm{K}}&\displaystyle=-\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\sin\alpha\sin\gamma,\\ \displaystyle m_{21}^{\mathrm{K}}&\displaystyle=-\cos\beta\sin\gamma,\quad m_{22}^{\mathrm{K}}=\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,\\ \displaystyle m_{23}^{\mathrm{K}}&\displaystyle=\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma,\\ \displaystyle m_{31}^{\mathrm{K}}&\displaystyle=\sin\beta,\quad m_{32}^{\mathrm{K}}=-\sin\alpha\cos\beta,\\ \displaystyle m_{33}^{\mathrm{K}}&\displaystyle=\cos\alpha\cos\beta.\end{aligned}$$

.6

•• Zwei Zahnräder sind auf einer Stange drehbar in den Punkten A und B gelagert. Die Stange selbst kann sich um den Punkt O drehen. Zahnrad 1 ist im Einsatz mit einer außenverzahnten Scheibe, Zahnrad 2 mit einem Hohlrad. Die Mittelpunkte von Scheibe und Hohlrad sind ebenfalls in O. Die Radien der Zahnräder sind r, der Radius von Scheibe und Hohlrad R.

Zunächst sind die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Zahnräder gesucht, wenn die Winkelgeschwindigkeit $\dot{\psi}$ gegeben ist. Mithilfe der Winkelgeschwindigkeiten sind die Vektoren der Geschwindigkeiten der Punkte C und D zu ermitteln.

Hinweis:

Werten Sie die Rollbedingungen aus.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{v}_{\mathrm{C}}&\displaystyle=(R+r)(\cos\psi-1)\dot{\psi}\boldsymbol{e}_{x}+(R+r)\dot{\psi}\sin\psi\boldsymbol{e}_{y},\\ \displaystyle\boldsymbol{v}_{\mathrm{D}}&\displaystyle=(R-r)(1-\cos\psi)\dot{\psi}\boldsymbol{e}_{x}-(R-r)\dot{\psi}\sin\psi\boldsymbol{e}_{y}.\end{aligned}$$

.7

•• Die Kurbel des abgebildeten Schubkurbelmechanismus dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.

Wie groß sind die Winkelgeschwindigkeit der Koppelstange und die Geschwindigkeit ihres Schwerpunktes für $\varphi=30^{\circ}$ beziehungsweise für $\varphi=60^{\circ}$? Wie groß sind in diesen Stellungen Winkelbeschleunigung und Schwerpunktsbeschleunigung? Es gilt l = 3r.

Hinweis:

Führen Sie den Winkel ψ zwischen der Vertikalen und der Pleuelstange ein.

Resultat:

Ergebnisse für die Stellung $\varphi=30^{\circ}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\omega_{\text{Koppel}}&\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{33}}\dot{\varphi},\\ \displaystyle v_{\mathrm{S}}&\displaystyle=(-0{,}25\boldsymbol{e}_{x}+0{,}791\boldsymbol{e}_{y})r\dot{\varphi},\\ \displaystyle\alpha_{\text{Koppel}}&\displaystyle=-0{,}2924\dot{\varphi}^{2},\\ \displaystyle a_{\mathrm{S}}&\displaystyle=(-0{,}433\boldsymbol{e}_{x}-0{,}417\boldsymbol{e}_{y})r\dot{\varphi}^{2}.\end{aligned}$$

Ergebnisse für die Stellung $\varphi=60^{\circ}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle\omega_{\text{Koppel}}&\displaystyle=-\sqrt{\frac{3}{35}}\dot{\varphi},\\ \displaystyle v_{\mathrm{S}}&\displaystyle=(-0{,}433\boldsymbol{e}_{x}+0{,}427\boldsymbol{e}_{y})r\dot{\varphi},\\ \displaystyle\alpha_{\text{Koppel}}&\displaystyle=-0{,}155\dot{\varphi}^{2},\\ \displaystyle a_{\mathrm{S}}&\displaystyle=(-0{,}25\boldsymbol{e}_{x}-0{,}954\boldsymbol{e}_{y})r\dot{\varphi}^{2}.\end{aligned}$$

.8

•• Bei einem Zylinderrollenlager dreht sich der Außenring mit der Winkelgeschwindigkeit ω_A, der Innenring mit der Winkelgeschwindigkeit ω_I. Der Außenradius des Innenrings ist R, der Durchmesser der Rollen d.

Wie groß sind die Winkelgeschwindigkeit ω_R der Wälzkörper und die Winkelgeschwindigkeit ω_K des Käfigs?

Hinweis:

Die Wälzkörper rollen ab.

Resultat:

$$\displaystyle\omega_{\mathrm{K}}=\frac{R\omega_{\mathrm{I}}+(R+d)\omega_{\mathrm{A}}}{2R+d}.$$

.9

•• Ein Betonlaster fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine Kurve mit Radius R. Die Betontrommel dreht sich dabei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω_T bezüglich des Fahrzeugs um eine Achse, die parallel zur Längsachse des Fahrzeugs verläuft. Wie lautet der Winkelgeschwindigkeitsvektor der Trommel bezüglich der Umgebung? Welchen Betrag hat er? Wie groß ist die Winkelbeschleunigung α der Trommel?

Hinweis:

Führen Sie Einheitsvektoren e_r, $\boldsymbol{e}_{\varphi}$ und e_z ein.

Resultat:

$$\displaystyle\boldsymbol{\alpha}_{\text{Trommel}}-\frac{v}{R}\omega_{\mathrm{T}}\boldsymbol{e}_{r}$$

.10

••• Ein Frisbee ist eine Jahrmarktattraktion, bei der sich eine Stange der Länge l ähnlich einem Pendel um eine horizontale Achse dreht. Der Winkel zwischen der Pendelstange und der Vertikalen beträgt $\varphi$. Am Ende der Stange ist eine Scheibe mit Radius R angebracht, die sich bezüglich der Stange um deren Längsachse mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω_S dreht. Der Drehwinkel $\varphi$ der Stange ist wie bei einem Pendel von der Zeit abhängig.

Wie groß ist der Vektor ω_F der Winkelgeschwindigkeit des Frisbees? Wie groß ist dessen Winkelbeschleunigung, wenn $\dot{\varphi}$ und $\ddot{\varphi}$ gegeben sind? Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Punkte A und B, wie groß deren Beschleunigung?

Hinweis:

Verwenden Sie die nicht körperfesten Einheitsvektoren $\boldsymbol{e}_{x^{\prime}}$, $\boldsymbol{e}_{y^{\prime}}$, $\boldsymbol{e}_{z^{\prime}}$.

Resultat:

$$\begin{aligned}\displaystyle\boldsymbol{a}_{\mathrm{A}}&\displaystyle=(l\ddot{\varphi}+R\dot{\varphi}^{2}+R\omega_{\mathrm{S}}^{2})\boldsymbol{e}_{y^{\prime}}+(l\dot{\varphi}^{2}-R\ddot{\varphi})\boldsymbol{e}_{z^{\prime}},\\ \displaystyle\boldsymbol{a}_{\mathrm{B}}&\displaystyle=(-R\omega_{\mathrm{S}}^{2})\boldsymbol{e}_{x^{\prime}}+l\ddot{\varphi}\boldsymbol{e}_{y^{\prime}}+(l\dot{\varphi}^{2}+2R\dot{\varphi}\omega_{\mathrm{S}})\boldsymbol{e}_{z^{\prime}}.\end{aligned}$$

.11

•• Eine Welle mit Radius R_W rollt auf dem Untergrund ab. An ihr ist eine Scheibe mit dem Radius R_S angebracht, die sich in einer Nut des Untergrundes bewegen kann. Der Mittelpunkt der Welle bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v_W entlang des Untergrundes.

Wie groß sind die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen der Punkte A und B?

Hinweis:

Am Punkt B liegt Rollen vor.

Resultat:

$$\displaystyle\boldsymbol{a}_{\mathrm{A}}=\frac{R_{\mathrm{S}}v_{\mathrm{W}}^{2}}{R_{\mathrm{W}}^{2}}\boldsymbol{e}_{y},\qquad\boldsymbol{a}_{\mathrm{B}}=\frac{v_{\mathrm{W}}^{2}}{R_{\mathrm{W}}}\boldsymbol{e}_{y}.$$

.12

• Ein Propeller besteht aus drei Flügeln und wird beim Hochlaufen des Motors mit der Winkelbeschleunigung α beschleunigt. Dabei beträgt die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ω. Wie groß ist die Beschleunigung des Punktes A?

Hinweis:

Führen Sie ein zylindrisches Koordinatensystem ein.

Resultat:

$\boldsymbol{a}_{\mathrm{A}}=\alpha l\boldsymbol{e}_{\varphi}-\omega^{2}l\boldsymbol{e}_{r}$