Zusammenfassung
In diesem Artikel wird die moderne Logik in ihren verschiedenen Spielarten und im Zusammenhang mit grundsätzlichen metatheoretischen Resultaten und Fragestellungen dargestellt.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
Notes
- 1.
Zitiert nach Trendelenburg, (Aristoteles 1967, S. 25).
- 2.
- 3.
„Daß die Logik diesen sicheren Gang schon von den ältesten Zeiten her gegangen sei, läßt sich daraus ersehen, daß sie seit dem Aristoteles keinen Schritt rückwärts hat tun dürfen, …. Merkwürdig ist noch an ihr, daß sie auch bis jetzt keinen Schritt vorwärts hat tun können, und also allem Anschein nach geschlossen und vollendet zu sein scheint“ (Kant 1787, B VIII).
- 4.
Vorangegangene, tief liegende konzeptionelle Ansätze zu einer umfassenden Reform der Logik in Richtung Mathematik lassen sich schon bei Leibniz (1982, 2000, 2019) finden. Sie kamen aber nicht über einen programmatischen Status hinaus und gerieten in Vergessenheit (Peckhaus 1997). Siehe dazu auch den Beitrag von Stefania Centrone (2023) in diesem Handbuch.
- 5.
Natürlich sind seitdem viele neue Resultate hinzugekommen und auch die Darstellung ist sowohl typografisch als auch konzeptionell optimiert worden. Neben der Modelltheorie ist vor allem auch die Rekursionstheorie als neuer Zweig der mathematischen Logik entwickelt worden, deren erste Ergebnisse im klassischen Werk von Kleene (1952) dargestellt wurden. Vom Tübinger Logiker Walter Felscher stammt das Zitat: „Hilbert-Bernays ist das alte Testament; Kleene ist das neue Testament.“
- 6.
Gentzen (1938) hatte dieses Vorhaben wie folgt charakterisiert:
Ein Hauptmerkmal des Hilbertschen Standpunkts scheint mir das Bestreben zu sein, das mathematische Grundlagenproblem der Philosophie zu entziehen und es soweit wie irgendmöglich mit den eigenen Hilfsmitteln der Mathematik zu behandeln.
- 7.
Man beachte, daß es Hilbert keinesfalls um eine Formalisierung der Mathematik ging, sondern lediglich darum, daß man sich der Formalisierbarkeit der Mathematik vergewissert und aus dieser metamathematische Schlüsse zieht, die auf die Mathematik zurückwirken, ohne daß eine Formalisierung selbst durchgeführt werden müßte; siehe auch (Kahle 2019).
- 8.
So zum Beispiel in (Eley 1985, S. 226) (wobei es dem Autor allerdings in erster Linie um die Frage der Benutzung von Annahmen im Kalkül geht): „Das Ableiten im Sequenzenkalkül ist kein logisches Schließen.“
- 9.
Man kann noch weitere Verknüpfungen hinzunehmen oder auch bestimmte der hier ausgewählten weglassen und später als Abkürzungen einführen.
- 10.
Zum Begriff der Komplexität siehe den entsprechenden Abschnitt unten.
- 11.
Genauer: Axiomenschemata, da es sich jeweils um unendliche Listen für alle Einsetzungen des entsprechenden Schemas mit beliebigen korrekt geformten Sätzen handelt, siehe z. B. (Kutschera 1967, Bem. 1, S. 83 ff.).
- 12.
Einen entsprechenden Beweis sollte man in jedem guten Logiklehrbuch zur Aussagenlogik, das einen Hilbert-Kalkül benutzt, finden können. Wir verweisen hier auf (Kutschera 1967), da dieses Buch, trotz seines Alters, eine vergleichsweise moderne Notation benutzt, vor allem aber viele Details ausführt, die oft übergangen oder dem Leser als Übungsaufgaben überlassen werden. In der Darstellung der Logik erster Stufe lehnen wir uns allerdings eng an (Barwise 1977) an.
- 13.
Mehrstellige Prädikate werden ihrerseits auch als Relationen bezeichnet. In einer engeren, heute eigentlich obsoleten Nomenklatur wurde das Wort Prädikat für einstellige Relationen reserviert; umgekehrt ist es z. T. auch noch üblich, das Wort Relation für zweistellige Prädikate zu reservieren.
- 14.
Auch wenn die Logik erster Stufe keinesfalls auf Anwendung in der Mathematik beschränkt werden sollte, sind außermathematische Beispiele, bei denen sich interessante Fragen mit Hilfe von Herleitungen klären lassen würden, eher selten (wenn wir insbesondere spezifische Datenstrukturen aus der Informatik zur Mathematik rechnen). Ein Beispiel, das sich sowohl bei Ackermann in (Hilbert und Ackermann 1959) als auch bei Carnap (1960) (und mit Bezug auf ihn bei Kutschera (1967)) findet, sind Familienverhältnisse basierend auf Relationen der Art „x ist Vater von y“, „u ist Tochter von v“, etc. Zu den Ansätzen, Allgemeinwissen in formalen Systemen zu repräsentieren, siehe die Bemerkung zu Expertensystemen im letzten Abschnitt.
- 15.
Peano (1889) hatte seine Axiome zuerst in einem mindestens zweitstufigen Kontext formuliert, zu einer Zeit als auch Dedekind (1888) einen entsprechenden Ansatz in einem mengentheoretischen Kontext vorgestellt hatte (Kahle 2017). Die moderne erststufige Fassung geht wohl auf Bernays zurück, siehe (Kahle 2021).
- 16.
- 17.
„Korrekt“ bedeutet hier, daß seine inhaltliche Deutung – insbesondere von „beweisbar“ – den Möglichkeiten der Peano-Arithmetik entspricht.
- 18.
Zum Begriff der rekursiven Funktion siehe unten im Abschnitt zur Entscheidbarkeit, insbesondere Fußnote 33.
- 19.
Man findet die Gödelschen Sätze auch in jedem besseren Logiklehrbuch, wobei allerdings nicht immer der ursprüngliche beweistheoretische Weg von Gödel nachvollzogen wird. Oft wird entweder ein rekursionstheoretischer Weg genommen, oder es wird ein auf Tarski zurückgehender modelltheoretischer Weg eingeschlagen. In jenem Fall ergibt sich der erste Unvollständigkeitssatz als Folgerung des Unentscheidbarkeitsresultats der Logik erster Stufe von Church, so z. B. in dem klassischen Lehrbuch (Shoenfield 1967). Wenn man von Tarskis Wahrheitsbegriff ausgeht, erhält man zwar einen äußerlich einfacheren Beweis des ersten Unvollständigkeitssatzes – siehe dazu z. B. die Anfangskapitel von (Smullyan 1992) –; ein solcher Beweis stellt allerdings deutlich weniger Information zur Verfügung.
- 20.
\( \overline{n} \) wird auch Numeral oder Ziffer genannt.
- 21.
Der Beweis für PA selbst ist relativ kompliziert, was aber im wesentlichen an der Besonderheit der Peano-Arithmetik liegt, in der die Exponentialfunktion nicht direkt axiomatisiert wurde.
- 22.
Daß sich dies nicht nur aus der naiven Definition ergibt, bei der man keine Schranke für eine Gödelnummer eines zu suchenden Beweises sieht, sondern prinzipiell gilt, ist letztlich wieder eine Folgerung des ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes.
- 23.
In der gegebenen Form des Beweises wird allerdings vorausgesetzt, daß T auch für die benutzten rekursiven Funktionen einen repräsentierenden Term besitzt, was z. B. in PA noch nicht der Fall sein muß, sondern erst in einer passenden konservativen Erweiterung garantiert ist. Die Konservativität dieser Erweiterung garantiert aber, daß der mit Hilfe de Diagonalisierungslemmas gezeigte Unvollständigkeitssatz auch für PA selbst gilt.
- 24.
Siehe das zu Beginn gegebenen Zitat von Aristoteles.
- 25.
„Diese Entdeckung, daß von relativen Notwendigkeiten auf weitere geschlossen werden kann, ohne daß man auf ein bestimmtes Wissen W zurückgreifen muß, liefert die Grundlage einer Modallogik.“ (Lorenzen und Schwemmer 1973, S. 83).
- 26.
Für einen historischen Überblick zur Möglichen-Welten-Semantik verweisen wir auf Copeland (2002). Zur der oben bereits erwähnten Einschränkung, die die (logische) Analyse von Modalitäten betrifft, schreibt Føllesdal (1980) treffend:
Diese Semantiken für die Modallogik benutzen allesamt […] den Begriff der möglichen Welt als eine grundlegenden, undefinierten Begriff. Aus diesem Grund darf man sie lediglich als algebraische Strukturen ansehen, die die logischen Wechselbeziehungen zwischen verschiedenen modalen Komponenten klären, aber uns keine Kriterien zur Verfügung stellen, was möglich ist und was notwendig ist.
- 27.
Siehe dazu auch den Beitrag von Klaus Mainzer (2023) in diesem Handbuch.
- 28.
Zur Schnittelimination im Genzen-Kalkül mit Gleichheit siehe z. B. (Takeuti 1987, § I.1.7).
- 29.
Hier erst einmal nur ohne Gleichheit.
- 30.
Curry hat ursprünglich diesen Isomorphismus für den Hilbert-Kalkül mit der kombinatorischen Logik aufgestellt; Howard übertrug das Ergebnis dann auf das natürliche Schließen und den λ-Kalkül. Wer mit der Beziehung zwischen kombinatorischer Logik und λ-Kalkül vertraut ist, kann damit auch die gegenseitigen Übersetzungen von Hilbert-Kalkül und natürlichem Schließen ineinander gewinnen.
- 31.
Dieses Entscheidungsproblem ist zu unterscheiden von Hilberts optimistischer Überzeugung zum „Problem der prinzipiellen Lösbarkeit einer jeden mathematischen Frage“ (Hilbert 1918, S. 412). Letzteres steht als eigenes neben dem Entscheidungsproblem; der fehlende Zusatz „durch eine endliche Anzahl von Operationen“ läßt erkennen, daß Hilbert bei der Frage der Lösbarkeit nicht (nur) an algorithmische Methoden gedacht hat.
- 32.
Die Liste der daran beteiligten Logiker ist lang; wir wollen hier nur Ackermann, Bernays, Péter, Herbrand, Gödel, Church, Turing und Kleene erwähnen, wobei sich Kleene (1952) ganz besonders um die Etablierung der Berechenbarkeits- oder Rekusionstheorie als eigenständiger Zweig der mathematischen Logik verdient gemacht hat.
- 33.
Traditionell wurden in der Mathematik Funktionen als total aufgefaßt und die rekursiven Funktionen (auf die sich die Verwendung des Begriffs rekursiv in den vorhergehenden Abschnitten bezieht) können formal als die totalen μ-rekursiven Funktionen eingeführt werden, d. h. diejenigen μ-rekursiven Funktionen, die für alle natürlichen Zahlen definiert sind.
- 34.
Für andere Programmiersprachen (und auch für unsere rekursiven Funktionen), gibt Dershowitz noch die folgende Modifikation an:
Programming languages that do not directly support „procedures as parameters“ need to use some „code“ c as the parameter instead of program C itself, but otherwise the undecidability proof is unchanged:
C(c) returns T ⇔ A(c) returns T ⇔ C(c) diverges.
- 35.
Das gilt daher, weil sich die verschiedenen Varianten in der Regel gegenseitig polynomial simulieren lassen.
- 36.
Die Klasse der Entscheidungsprobleme, die sich mit einer deterministischen Turing-Maschine in polynomialer Zeit entscheiden lassen, wird mit P bezeichnet. NP ist die Klasse der Entscheidungsprobleme, die sich in polynomialer Zeit mit einer nicht-deterministischen Turing-Maschine „entscheiden“ lassen. Das N steht dabei für nicht-deterministisch, womit sich das Raten im Maschinenmodell formalisieren läßt, um den Preis, daß diese Maschinen nicht mehr wirklich rechnen, sondern verschiedene Rechenmöglichkeiten in einer Baumstruktur zusammenstellen.
- 37.
Interessanterweise hatte Cook in seinem Originalartikel (1971) SAT gar nicht behandelt, sondern als Theorem „nur“ formuliert, daß das aussagenlogische Tautologieproblem NP-hart ist; Karp (1972) erkannte aber, daß der von Cook gegebenen Beweis unmittelbar die Vollständigkeit von SAT liefert. Für eine moderne Darstellung der Komplexitätstheorie sei beispielhaft auf (Goldreich 2010) verwiesen.
- 38.
Da allgemein P ≠ NP vermutet wird, ist nicht zu erwarten, daß man einen solchen Algorithmus finden wird.
- 39.
Siehe dazu und zu mehr über die Anfänge der KI (Pallay 2023) in diesem Handbuch.
- 40.
Turing (1950, S. 451) selbst hatte davor gewarnt:
The view that machines cannot give rise to surprises is due, I believe, to a fallacy to which philosophers and mathematicians are particularly subject. This is the assumption that as soon as a fact is presented to a mind all consequences of that fact spring into the mind simultaneously with it. It is a very useful assumption under many circumstances, but one too easily forgets that it is false.
- 41.
In naiver Form ist SAT-solving eigentlich kein logisches Schließen, sondern ein kombinatorisches Ausrechnen von Belegungsmöglichkeiten; es ist aber nicht nur theoretisch mit dem logischen Schließen verbunden, sondern die modernen SAT-solving-Algorithmen machen auch praktisch Gebrauch von Prinzipien des logischen Schließens, z. B. Resolution (Küchlin und Mainzer 2023, § 2).
- 42.
Man versuche doch z. B. einen C++-Compiler mittels maschinellen Lernens zu erstellen. (Dieses Beispiel verdanke ich Hans Leiß, München.) Für eine weitergehende Kritik der modernen KI, siehe Mainzer und Kahle (2022).
- 43.
Siehe hierzu den Beitrag von Bernhard Waltl (2023) in diesem Handbuch.
Literatur
Andréka, H., I. Németi und J. van Benthem. 1998. Modal languages and bounded fragments of predicate logic. Journal of Philosophical Logic 27:217–274.
Aristoteles. 1967. Texte zur Logik. Reinbek: Rowohlt.
Baader, F., D. Calvanese, D. L. McGuiness, D. Nardi und P. F. Patel-Schneider. 2003. The Description Logic Handbook: Theory, Implementation, Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
Barcan, R. C. 1946. A functional calculus of first order based on strict implication. Journal of Symbolic Logic 11(1): 1–16.
Barwise, J. 1977. An introduction to first-order logic. In Handbook of Mathematical Logic, Hrsg. J. Barwise, 5–46. Amsterdam: North-Holland.
Bibel, W. 2023. Automatisierung der Deduktion. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Berlin: Springer. In diesem Buch.
Carnap, R. 1960. Einführung in die symbolische Logik, 2. Aufl. Wien: Springer.
Carnielli, W., und C. Pizzi. 2008. Modalities and Multimodalities, Band 12 von Logic, Epistemology, and the Unity of Science. Berlin: Springer.
Centrone, S. 2023. Leibniz und die künstliche Intelligenz: Lingua characteristica und Calculus ratiocinator. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Berlin: Springer. In diesem Buch.
Cook, S. A. 1971. The complexity of theorem-proving procedures. In Proceedings of the Third ACM Symposium on Theory of Computing, 151–158.
Copeland, B. J. 2002. The genesis of possible worlds semantics. Journal of Philosophical Logic 31(2): 99–137.
Dedekind, R. 1888. Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig: Vieweg.
Dershowitz, N. 2005. The four sons of Penrose. In Proceedings of the Eleventh Conference on Logic Programming for Artificial Intelligence and Reasoning (LPAR), Band 3835 der Lecture Notes in Artificial Intelligence, Hrsg. G. Sutcliffe und A. Voronkov, 125–138. Berlin: Springer.
Došen, K., und P. Schroeder-Heister. 1994. Substructural Logics. Oxford: Oxford University Press.
Dummett, M. 1981. Frege. Philosophy language, 2. Aufl. London: Duckworth.
Dummett, M. 1991. The logical basis of metaphysics. London: Duckworth.
Eley, L. 1985. Philosophie der Logik, Band 230 der Erträge der Forschung. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
Føllesdal, D. 1980. Eintrag Semantik. In Handbuch wissenschaftstheoretischer Begriffe, Hrsg. J. Speck, Bd. 3 (R–Z), 568–579. Göttingen: Vandenhoek & Ruprecht.
Frege, G. 1893/1903. Grundgesetze der Arithmetik. Jena: Hermann Pohle. 2 Bände.
Gentzen, G. 1935. Untersuchungen über das logische Schließen I, II. Mathematische Zeitschrift 39:176–210, 405–431.
Gentzen, G. 1938. Die gegenwärtige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung. Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften, Neue Folge 4, 5–18, auch in Deutsche Mathematik 3:255–268, 1939.
Girard, J.-Y. 1987. Linear logic. Theoretical Computer Science 50:1–102.
Gödel, K. 1930. Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Monatshefte für Mathematik und Physik 37:349–360.
Gödel, K. 1931. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38:173–198.
Goldreich, O. 2010. P, NP, and NP-Completeness. Cambridge: Cambridge University Press.
Hilbert, D. 1918. Axiomatisches Denken. Mathematische Annalen 78(3/4): 405–415.
Hilbert, D. 1928. Die Grundlagen der Mathematik. Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 6(1/2): 65–85.
Hilbert, D., und W. Ackermann. 1928. Grundzüge der theoretischen Logik, Band XXVII von Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer.
Hilbert, D., und W. Ackermann. 1959. Grundzüge der theoretischen Logik, Band XXVII von Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, 4. Aufl. Berlin: Springer.
Hilbert, D., und P. Bernays. 1934. Grundlagen der Mathematik I, Band 40 von Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer.
Hilbert, D., und P. Bernays. 1939. Grundlagen der Mathematik II, Band 50 von Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Berlin: Springer.
Kahle, R. 2007. Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze. Mathematische Semesterberichte 54(1): 1–12.
Kahle, R. 2015. Gentzen’s theorem in context. In Gentzen’s Centenary: The quest for consistency, Hrsg. R. Kahle und M. Rathjen, 3–24. Berlin: Springer.
Kahle, R. 2017. Von Dedekind zu Zermelo versus Peano zu Gödel. Mathematische Semesterberichte 64(2): 159–167.
Kahle, R. 2019. Is there a „Hilbert Thesis“? Studia Logica 107(1): 145–165.
Kahle, R. 2020. „Sehr geehrter Herr Professor!“ Proof theory in 1949 in a letter from Schütte to Bernays. In The Legacy of Kurt Schütte, Hrsg. R. Kahle und M. Rathjen, 3–19. Berlin: Springer.
Kahle, R. 2021. Dedekinds Sätze und Peanos Axiomata. Philosophia Scientiæ 25(1): 69–93. Special Issue on Giuseppe Peano and his School: logic, epistemology and didactics.
Kant, I. 1787. Kritik der reinen Vernunft, 2. Aufl. Riga: Johann Friedrich Hartknoch.
Karp, R. M. 1972. Reducibility among combinatorial problems. In Complexity of Computer Computations. The IBM Research Symposia Series, Hrsg. R. Miller, J. Thatcher und J. Bohlinger, 85–103. New York: Plenum Press.
Kleene, S. C. 1952. Introduction to Metamathematics. New York: D. Van Nostrand Company.
Kutschera, F. v. 1967. Elementare Logik. Wien: Springer.
Küchlin, W. 2023. Anwendungen des SAT-Solvings. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Berlin: Springer. In diesem Buch.
Küchlin, W., und K. Mainzer. 2023. Logische Grundlagen der klassischen KI. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Berlin: Springer. In diesem Buch.
Ladner, R. E. 1977. The computational complexity of provability in systems of modal propositional logic. SIAM Journal on Computing 6(3): 467–480.
Lambek, J. 1968. Deductive systems and categories. I: Syntactic calculus and residuated categories. Mathematical Systems Theory 2:287–318.
Lambek, J. 1969. Deductive systems and categories. II. Standard constructions and closed categories. In Category Theory, Homology Theory and Applications, Band 86 der Lecture Notes in Mathematics, Hrsg. P. Hilton, 76–122. Berlin: Springer.
Leibniz, G. W. 1982. Allgemeine Untersuchungen über die Analyse der Begriffe und Wahrheiten, Band 338 der Philosophischen Bibliothek. Hamburg: Meiner.
Leibniz, G. W. 2000. Die Grundlagen des logischen Kalküls, Band 525 der Philosophischen Bibliothek. Hamburg: Meiner.
Leibniz, G. W. 2019. Schriften zur Syllogistik, Band 712 der Philosophischen Bibliothek. Hamburg: Meiner.
Lorenzen, P., und O. Schwemmer. 1973. Konstruktive Logik, Ethik und Wissenschaftstheorie, Band 700 der B.I.-Hoschultaschenbücher. Darmstadt: B.I.-Wissenschaftsverlag.
Mainzer, K., und R. Kahle. 2022. Grenzen der KI – theoretisch, praktisch, ethisch. Berlin: Springer.
Mainzer, K. 2023. Von der Beweistheorie zu maschinellen Beweisassistenten. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Berlin: Springer. In diesem Buch.
Matiyasevich, Y. 1996. Hilbert’s tenth problem. Cambridge, MA: MIT Press.
McLarty, C. 2010. What does it take to prove Fermat’s last theorem? Grothendieck and the logic of number theory. Bulletin of Symbolic Logic 16(3): 359–377.
Pallay, C. 2023. Vom Turing-Test zum General Problem Solver. Die Pionierjahre der künstlichen Intelligenz. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Berlin: Springer. In diesem Buch.
Patzig, G. 1963. Die Aristotelische Syllogistik, 2. Aufl. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Göttingen. Philologisch-historische Klasse. Dritte Folge. Nr. 42. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.
Peano, I. 1889. Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita. Augustae Taurinorum: Bocca.
Peckhaus, V. 1997. Logik, Mathesis universalis und allgemeine Wissenschaft. Leibniz und die Wiederentdeckung der formalen Logik im 19. Jahrhundert. Berlin: Akademie Verlag.
Prawitz, D. 1974. On the idea of a general proof theory. Synthese 27(1/2): 63–77.
Schroeder-Heister, P. 2016. Proof-theoretic semantics. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy. (Winter 2016), Hrsg. E. N. Zalta. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
Shoenfield, J. R. 1967. Mathematical Logic. Addison-Wesley. Nachdruck durch ASL, AK Peters, 2000.
Smorynski, C. 1977. The incompleteness theorems. In Handbook of mathematical logic, Hrsg. J. Barwise, 821–865. Amsterdam: North-Holland.
Smullyan, R. M. 1992. Gödel’s incompleteness theorems. Band 19 der Oxford Logic Guides. Oxford: Oxford University Press.
Takeuti, G. 1987. Proof Theory. Band 81 der Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 2. Aufl. Amsterdam: North-Holland.
Troelstra, A. S., und H. Schwichtenberg. 2000. Basic proof theory, 2. Aufl. Cambridge: Cambridge University Press.
Turing, A. 1950. Computing machinery and intelligence. Mind 59:433–460.
Vardi, M. 1997. Why is modal logic so robustly decidable? In Descriptive complexity and finite models, Band 31 der DIMACS series in discrete mathematics and theoretical computer science, Hrsg. N. Immerman und P. G. Kolaitis, 149–184. Providence: American Mathematical Society.
Waltl, B. 2023. Erklärbarkeit und Transparenz im Machine Learning. In Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz, Hrsg. K. Mainzer. Springer. In diesem Buch.
Weyl, H. 1971. Über den Symbolismus der Mathematik und mathematischen Physik. In Hilbert, Hrsg. K. Reidemeister, 20–38. Berlin: Springer.
Whitehead, A. N., und B. Russell. 1910–1913. Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press. 3 Bände. 1. Aufl.; 2. Aufl. 1925–27.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2020 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature
About this entry
Cite this entry
Kahle, R. (2020). Grundlagen des logischen Schließens. In: Mainzer, K. (eds) Philosophisches Handbuch Künstliche Intelligenz. Springer Reference Geisteswissenschaften. Springer VS, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-23715-8_4-1
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-23715-8_4-1
Received:
Accepted:
Published:
Publisher Name: Springer VS, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-658-23715-8
Online ISBN: 978-3-658-23715-8
eBook Packages: Springer Referenz Sozialwissenschaften und Recht